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1、线性规划的实际应用高二（8）班赵铭在科学研究、工程设计、经济管理等方面，我们都会碰到最优化决策的实际问题，而解决这类问题的理论基础是线性规划。利用线性规划研究的问题，大致可归纳为两种类型：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，的效益最大，第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小。例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，第二种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表
2、所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?产品木料(单位m3)第一种第二种圆桌0.180.08衣柜0.090.28解：设生产圆桌x只,生产衣柜y个,利润总额为z元,那么而z=6x+10y.如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线l:6x+10y=0,即l:3x+5y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z=6x+10y取最大值解方程组,得M点坐标(350,100).答:应生产圆桌
3、350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一例2、某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的.动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50000kg,问饲料怎样混合,才使成本最低.解:设每周需用谷物饲料xkg,动物饲料ykg,每周总的饲料费用为z元,那么,而z=0.28x+0.9y如下图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可
4、行域.作一组平行直线0.28x+0.9y=t,其中经过可行域内的点且和原点最近的直线,经过直线x+y=35000和直线的交点,即,时,饲料费用最低.所以,谷物饲料和动物饲料应按5:1的比例混合,此时成本最低.指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.(例3图)(例4图)例3、下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素A、B的含量及成本:甲乙丙维生素A(单位/千克)维生素B(单位/千克)成本(元/千克)400800760020064004005营养师想购这三种食物共10千克,
5、使之所含维生素A不少于4400单位,维生素B不少于4800单位,问三种食物各购多少时,成本最低?最低成本是多少?解:设所购甲、乙两种食物分别为x千克、y千克,则丙种食物为(10-x-y)千克.x、y应满足线性条件为,化简得作出可行域如上图中阴影部分目标函数为z=7x+6y+5(10-x-y)=2x+y+50,令m=2x+y,作直线l:2x+y=0,则直线2x+y=m经过可行域中A(3,2)时,m最小,即mmin=2´3+2=8，∴zmin=mmin+50=58答:甲、乙、丙三种食物各购3千克、2千克、5千克时成本最低,最低成本
6、为58元.指出:本题可以不用图解法来解,比如,由得z=2x+y+50=(2x-y)+2y+50³4+2´2+50=58,当且仅当y=2,x=3时取等号总结：(1)设出决策变量,找出线性规划的约束条件和线性目标函数;(2)利用图象,在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大(或最小).2.线性规划问题的一般数学模型是:已知(这个式子中的“£”也可以是“³”或“=”号)其中aij(i=1,2,…,n,j=1,2,…,m),bi(i=1,2,…,n)都是常量,xj(j=1,2,…,m)是非负变量,求z=c1x1+c2x2+
7、…+cmxm的最大值或最小值,这里cj(j=1,2,…,m)是常量.(3)线性规划的理论和方法主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.
