高二元旦数学理科试题竞赛

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1、高二元旦数学理科试题竞赛A卷一、选择题:本题共12小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．不等式的解集为（）(A)或(B)(C)或(D)2．等比数列{}的各项均为正数，且,则（）（A）12（B）10（C）8（D）3．下列判断正确的是（）(A)“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的逆命题是真命题；(B)“两个全等三角形的三边对应相等”的否命题是真命题；(C)“四条边都相等的四边形是正方形”的逆否命题是真命题；(D)命题“且”是真命题．4.已知x,y满足：，则的最值是（）（A）最大值为2，最小值为0（B）最大值为2，无最小值（C）

2、无最大值，最小值为0（D）无最值5．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，给出下列表达式：①②③④其中能推出M、A、B、C四点共面的是（）（A）①②（B）①③（C）①④（D）②④6.Sn是数列的前n项和，其通项公式为，则使Sn取最大值时的n值为（）(A)5(B)6(C)10(D)117.以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）(A)(B)(C)(D)8.在一座20m高的观测台测得地面一水塔顶仰角为，塔底俯角为，那么这座塔的高为（）(A)(B)(C)(D)9.连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点，设点为坐标原点，则三角形的面积为（　）（A）（B）（C）

3、（D）10．与双曲线有共同的渐近线,且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是()（A）1（B）2（C）4（D）8-8-11．已知三个不等式：①；②；③≤0.要使同时满足①式和②式的所有x的值都满足③式，则实数m的取值范围是（）(A)(B)(C)≤6(D)0<≤912.已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率为（）（A）（B）（C）（D）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹

4、方程是14．已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy=_____15．若正数满足，则的取值范围是.16．下列命题中：①若为两个命题，则“且为真”是“或为真”的必要不充分条件；②若为：≤0，则；③若椭圆的两焦点为，且弦AB过点，则的周长为16；④若；所有正确命题的序号是.三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17．（本小题满分12分）ABCD如图，在四边形中，为边长等于的正三角形，，，求线段的长．-8-18．（本小题满分12分）已知数列的前n项和．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）设，求数列的

5、前n项和．19．（本小题满分12分）求方程ax2+2x+1=0至少有一负根的充要条件．-8-20．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2M，N分别是A1B1，A1A的中点。（I）求的长度；（II）求cos（，）的值；（III）求证：A1B⊥C1M。21.(本题满分12分)某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2008年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销ｔ万元之间满足3－x与ｔ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2008年生产

6、化妆品的设备折旧，维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为：其生产成本的150%“与平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的化妆品正好能销完.(Ⅰ)将2008年的利润y(万元)表示为促销费ｔ(万元)的函数；(Ⅱ)该企业2008年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大?(注：利润＝销售收入—生产成本—促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)-8-22.(本题满分14分)如图，椭圆的方程为，其右焦点为F，把椭圆的长轴分成6等分，过每个点作x轴的垂线交椭圆上半部于点P1，P2，P3，P4，P5五个点，且

7、P1F

8、+

9、P2F

10、

11、+

12、P3F

13、+

14、P4F

15、+

16、P5F

17、=5.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l过F点（l不垂直坐标轴），且与椭圆交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M（m,0），试求m的取值范围.附加题：（本题满分10分，计入总分，但总分不超过150分）数列的各项均为正值，，对任意，，都成立．（I）求证数列为等比数列，并求数列、的通项公式；（II）当时，有（当且仅当时等号成立）.运用此结论证明：当且时，对任意都有成立．-8-高二元旦竞赛数学理科试题A卷参考答案：DBBABCDBBBCD13．14．215．16．②④17．解：在中，由正弦定理得