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《《复变函数与积分变换》作业.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一篇第1章1.已知，求，。解：2.已知，，求及。解：所以3.设、是两个复数。求证：。证明：1.证明：函数在原点不连续。证明：当点沿趋于时，故当k取不同值时，趋于不同的数在原点处不连续2.证明：z平面上的直线方程可以写成（a是非零复常数，c是常数）证明：设直线方程的一般形式为（a，b，c均为实常数，a，b不全为零）因为：代入化简得：令得反之，设有方程（复数，c是常数）用代入上式，且令化简即得第2章1.试判断函数的可微性和解析性。解：因，而，，由于这四个偏导数在z平面上处处连续，且满足C-R方程。由定理知，f(z)在z平
2、面上处处可微且解析2.解方程解：3.求解：1.设确定在从原点z=0起沿负实轴割破了的z平面上，并且（这是边界上岸点对应的函数值），试求的值。解：设，则这里（1）由一定条件定k：Z=-2时，要，则必有k=1（2）求的值因则5.设，问在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值。解：均连续，要满足条件，必须要成立即仅当和时才成立，所以函数处处不解析；第3章1.计算其中C为单位圆周
3、z
4、=1解：因奇点z=-2,-3在单位圆外部，所以在处处解析。由柯西积分定理：2.求积分解：由于在z平面上解析所以在z平面内积分与路径无关因此，选
5、取最简单的路径为0与的直线段[0,]则：1.已知：，求解析函数解：由C-R条件则又因为即则即又所以故4.计算积分,其中积分路径为(1)中心位于点,半径为的正向圆周(2)中心位于点,半径为的正向圆周解：(1)内包含了奇点∴(2)内包含了奇点,∴5.分别沿y=x与y=x²算出、积分的值。解（1）沿y=x。此时z=t+it(0≤t≤1)。dz=(1+i)dt,于是（2）沿y=x²，此时z=t+it²(0≤t≤1)。dz=(1+2t)dt，故第4章1．将函数在点展开为洛朗(Laurent)级数．解：，在复平面上以原点为中心分为
6、三个解析环：，，．(1)在内，．(2)在内，．(3)在内，．2．讨论级数的敛散性解因为部分和，所以，，不存在.当而时（即），和都没有极限,所以也不收敛．.故当和时,收敛3．求下列级数的和函数.(1)(2)解:（1）故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：所以于是有：(2)令：故R=∞,由逐项求导性质由此得到即有微分方程故有：， A,B待定。所以4．用直接法将函数在点处展开为泰勒级数,(到项),并指出其收敛半径.解:因为奇点为所以又于是，有展开式5.下列说法是否正确？为什么？（1）每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛；（2
7、）每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点；（3）每一个在z。连续的函数一定可以在z。的邻域内展开成Taylor级数。解（1）不对。如在收敛圆∣z∣＜1内收敛,但在收敛圆周∣z∣=1上并不收敛;(2)不对。幂级数的和函数在收敛圆内为解析函数,不能有奇点;(3)不对。如在全平面上连续，但他在任何点的邻域内均不能展开成Taylor级数。第5章1.计算积分解：显然，被积函数在圆周
8、z
9、=2的内部只有一阶极点z=0及二阶极点z=1故由留数定理得2．求出在所有孤立奇点处的留数解：函数有孤立奇点0与，而且在内有如下Laurent展
10、开式：故2．解：令，在内，函数有两个奇点．为可去奇点，，为一阶极点，，原式3．c:
11、z
12、=2取正向．解：因为在c内有z=1，z=-i两个奇点．所以5.验证：是chz的一级零点。解：由，知是chz的一级零点。第6章1．求一映射，将半带形域映射为单位圆域.解：1．求上半单位圆域在映射下的象.解：令，则，故将上半单位圆域映射为且沿0到1的半径有割痕.3.求把区域映射到单位圆内部的共形映射解：4.z=0是函数的几级极点？解：故z=0是函数sinz+shz-2z的五级零点，也即为的十级极点。5.试用下图中的积分路线，求例4中的积
13、分：。解：，采用沿如图所示闭曲线来计算上式右端的积分（z=0为的一级极点，且在实轴上）。由Cauchy基本定理，有和例4采用同样的方法得到。故，即第二篇第1章1．证明：如果f(t)满足傅里叶变换的条件，当f(t)为奇函数时，则有其中当f(t)为偶函数时，则有其中证明：因为其中为f(t)的傅里叶变换当f(t)为奇函数时，为奇函数，从而为偶函数，从而故有为奇数。=所以，当f(t)为奇函数时，有同理，当f(t)为偶函数时，有.其中2．求下列函数的傅里叶变换(2)（1）解：（2）解：因为所以根据傅里叶变换的微分性质可得3.已知
14、函数的傅里叶变换求解:4.设函数f(t)的傅里叶变换，a为一常数.证明当a>0时,令u=at.则当a<0时,令u=at,则.故原命题成立.5.试证：若f(t)满足傅氏积分定理的条件，当f（t）为奇函数时，则有其中当f（t）为偶函数时，则有其中证：设f（t）是奇函数设f（t）是偶函数a（ω）是ω的偶函数第2章1．用Laplace变换
