高中数学必修3综合测试题.doc

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1、正弦定理和余弦定理abc1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦sinAsinBsinC定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；abc(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝等形式，以解决不同的三角形问题．2R2R2R2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－b2＋c2－a2a2＋c2－b22abcos_C．余弦定理可以变形为：cosA＝，cosB＝，cosC2bc2aca2＋b2－c2＝.2ab111abc13．

2、S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆2224R2半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为钝角或A为锐角直角图形关系a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b式解的无解一解两解一解一解无解个数一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已

3、知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于()．A．52B．102106C.D．563解析由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，ac由正弦定理得：＝，sinAsinC10c106即＝.∴c＝.答案C32322sinAcosB2．在△ABC中，若＝，则B的值为()．a

4、bA．30°B．45°C．60°D．90°解析由正弦定理知：sinAcosB＝，∴sinB＝cosB，∴B＝45°.答案BsinAsinB3．在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于()．A．30°B．45°C．60°D．75°b2＋c2－a21＋4－31解析由余弦定理得：cosA＝＝＝，2bc2×1×22∵0＜A＜π，∴A＝60°.答案C14．在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝，则△ABC的面积为()．3A．33B．23C．43D.3122解析∵cosC＝，0＜C＜π，∴sinC＝，331122∴S△ABC＝absinC＝×32×23×＝43.223答案C5．已知△

5、ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．解析∵a2＋b2－c2＝－3ab，a2＋b2－c23∴cosC＝＝－，2ab2故C＝150°为三角形的最大内角．答案150°考向一利用正弦定理解三角形【例1】►在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A，C和边c.ab32解由正弦定理得＝，＝，sinAsinBsinAsin45°3∴sinA＝.2∵a＞b，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，bsinC6＋2c＝＝；sinB2当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，bsinC6－2c＝＝

6、.sinB2(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．π【训练1】在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tanA＝2，则sinA＝______a＝________.4解析因为△ABC中，tanA＝2，所以A是锐角，sinA22且＝2，sinA＋cosA＝1，cosA25ab联立解得sinA＝，再由正弦定理得＝，5sinAsinB25代入数据解得a＝210.答案2105考向二利用余弦定理解三角形cosBb【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、

7、B、C的对边，且＝－.cosC2a＋c(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．cosBb[审题视点]由＝－，利用余弦定理转化为边的关系求解．cosC2a＋ca2＋c2－b2解(1)由余弦定理知：cosB＝，2aca2＋b2－c2cosC＝.2abcosBb将上式代入＝－得：cosC2a＋ca2＋c2－b22abb·＝－，2aca2＋b2－c22a＋c整理得：a2＋c2－b2＝－ac.a2＋c2－b2－ac12∴cosB＝＝＝－.