绵阳市高中2012级第三次诊断性考试理科数学参考答案及评分标准.doc

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1、绵阳市高2012级第三次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DCBCDAABCB10．提示：当AB垂直于x轴时，显然不符合题意．设AB中点为，于是．∴可设直线的方程为，联立方程：消去得：，∴y1+y2=2t，y1y2=2t2-8，∴由，得，令时，得，∴，于是S△MAB．令，则，∴当时，(S△MAB)max=8，此时．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．412．13．2.0214．615．②③三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：(Ⅰ)随机变量ξ的可

2、能取值分别是：0，m，3m，6m元．∴；；；；ξ的分布列为：ξ0m3m6mP………………………………………………………………………7分(Ⅱ)由(Ⅰ)得：，…………9分若要使促销方案对商场有利，则<100，解得m<75．即要使促销方案对商场有利，商场最高能将奖金数额m应低于75元．…12分PABCDEFyxz17．(Ⅰ)证明：∵ PA⊥底面ABCD，AE底面ABCD，∴AE⊥PA．…………………………………1分∵四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60º，∴△ABC为等边三角形，又E是BC中点，则AE⊥BC，由BC//AD，得AE⊥AD．

3、……………………3分又∵PA∩AE=A，∴AE⊥平面PAD，又PD平面PAD，∴AE⊥PD．…………………………………5分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，以AE，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．设PA=AB=2，则A(0，0，0)，E(，0，0)，C(，1，0)，F(，，1)，∴=(，0，0)，=(，1，0)，=(，，1)．…………7分设平面EAF的法向量为n1=(x1，y1，z1)，则即令z1=1，可得n1=(0，-2，1)．…9分设平面ACF的法向量为n2=(x2，y2，z

4、2)，则即令x2=，可得n2=(，-3，0)．……………………………………………………………………11分设二面角E-AF-C的平面角为，则，又由图可知为锐角，所以二面角E-AF-C的余弦值为．…………12分18．解：(Ⅰ)由图象知，，故，，即，于是由，解得．∵，且，解得．∴．…………………………………………………4分由≤≤，，解得≤x≤，，即在R上的单调递增区间为．………………6分(Ⅱ)由条件得：，即．∵且在上是增函数，>0，>0，在上是减函数，∴，∴，…………………………………………………………9分∴，…………………………………10

5、分∴．…………………………………………………………12分19．解：(Ⅰ)设数列{an}公差为d，由题设得……………………2分即解得∴数列{an}的通项公式为：(n∈N*)．………………………………4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知：…………………………………5分①当为偶数，即时，奇数项和偶数项各项，∴ ；………………………7分②当为奇数，即时，为偶数．∴．综上：……………………………9分(Ⅲ)，令，由此>10转化为，∵≥1(当且仅当t=1时“=”号成立)，∴．∵，．∴≥6，解得n≥，∴当n≥4，n∈N*时，>10．…………………………………………1

6、2分20．解：(Ⅰ)在△ABC中，根据正弦定理得，即()，∵AB=2，∴(定值)，且，∴动点的轨迹为椭圆(除去与A、B共线的两个点)．………………3分设其标准方程为，∴a2=，b2=-1，∴所求曲线的轨迹方程为．…………………………5分(Ⅱ)时，椭圆方程为．①过定点B的直线与x轴重合时，△NPQ面积无最大值．…………………6分②过定点B的直线不与x轴重合时，设l方程为：，，若m=0，因为，故此时△NPQ面积无最大值．……………………7分根据椭圆的几何性质，不妨设．联立方程：消去整理得：，∴，，则．………………………………………9分∵当

7、直线与l平行且与椭圆相切时，此时切点N到直线l的距离最大，设切线，联立消去整理得：，由，解得：．又点N到直线l的距离，∴，．…………………………………………………11分将代入得：，令，设函数，则，∵当t∈时，>0，当t∈时，<0，∴在上是增函数，在上是减函数，∴．故时，△NPQ面积最大值是．…………………………………13分21．解：(Ⅰ)=，∴，由解得，由解得，∴函数的单增区间是，函数的单减区间是．………………………………………………………3分(Ⅱ)由≤可变为≤0．令，，则．由可得，由可得，所以在单调递减，在单调递增．……………………

8、…6分根据题设知：，可解得．…………………………7分①若≤，即时，∵在单调递减，∴≤0，即≤0对恒成立．令，≤0，则，即在上是减函数；则，所以对任意，≤0成立．……………………10分②当，即时，当且仅当≤0，即≥e，此时