2016年数学联赛广西赛区预赛试题答案.pdf

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1、2016年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题（考试时间：2016年5月22日上午8:30—11:00）考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：150分题号填空题111213总分得分注意：1.所有答题均写在密封线右边，写在其他纸上一律无效；2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记．一、填空题(本大题共10小题，每小题8分，共80分，请将答案填写在下面答题卡相应的横线上)32１．（10，100）；2．-2；3.(ab)；4.；5．3；2443[,]6．2；7．8204；8.72；9.①③④；10

2、．33；11．（赵继源供题）函数fx()的定义域是______________.2(lg)x3lgx2答案：（10，100）2解：要使函数有意义，应有(lg)x3lgx20，解得1＜lgx＜2，即10＜x＜100，故函数的定义域为（10，100）．2．（赵继源供题）xy设实数x，y满足y62x，向量a=（2x－y，m），b=（－1，1），若a∥b，则实数m的最小值x1为．答案：－2．2xym解：由已知，若a∥b，则，即m=－2x+y.11由m=－2x+

3、y，得y=2x+m，作出不等式对应的可行域（阴影部分），并平移直线y=2x+m，由平移可知当直线y=2x+m经过点B时，直线y=2x+m的截距最小，此时m取得最小值.2016年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题第1页（共7页）xy,x2由，解得，即B（2，2）．y62.xy2将B（2，2）坐标代入m=－2x+y，得z=－4+2=－2，即目标函数m=－2x+y的最小值为－2．22ab3．（黎福庆供题）设a、b都为大于零的常数，0x1，则的最小值为.x1x2答案：(ab)222

4、2abab解：x(1x)x1xx1x开始222222a(1x)bx22a(1x)bxS=0,n=1abab2x1xx1x否n≤20172(ab).（或直接用柯西不等式也行）是4．（唐光明供题）运行右侧的程序框图，输出的结果S的值为.πS=S+sin(n)输出S33答案：.2n=n+1结束23456解析：因为sinsinsinsinsinsin0，333333根据周期性，该程序的功能是计算：23420173sin

5、sinsinsinsinsin.333333235．（王强芳供题）已知函数fx()x对应的曲线在点(,())(afakN)处的切线与x轴的交点为kkf(3a)f(3a)f(3a)1210(a,0)，若a1，则.k112101()3答案：322解：由fx'()3x得曲线在点(,())(afakN)处的切线斜率k3a，故切线方程为kkk32ya3(axa).kkk2a22k1令y0得aa，故数列{}a是首项a1，公比q的等比数列，k1kn1

6、3a33k10a1(1q)10又f(3a)f(3a)f(3a)aaa3(1q)，121012101q2016年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题第2页（共7页）f(3a)f(3a)f(3a)1210所以3.2101()3x6．（王强芳供题）已知点P在曲线y=e上，点Q在曲线y=lnx上，则PQ的最小值是_______答案：2xx解：因曲线y=e与y=lnx关于直线y=x对称．所求PQ的最小值为曲线y=e上的点到直线y=x最小距离xx

7、ex

8、exxxd(x),

9、的两倍,设P(x,e)为y=e上任意点,则P到直线y=x的距离22x/e1/2因d(x)0x0,d(x)0x0,所以,d(x)mind(0),即PQmin=2.22*7．（唐光明供题）设m∈N，log2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)＋F(2)＋＋F(1024)的值是_________.答案：8204解析：依题意，F(1)＝0，F(2)＝F(3)＝1，有2个2F(4)＝F(5)＝F(6)＝F(7)＝2，有2个．3F(8)＝…＝F(15)＝3，有2个．4F(16)＝…＝F(

10、31)＝4，有2个．…9F(512)＝…＝F(1023)＝9，有2个．F(1024)＝10，有1个．239故F(1)＋F(2)＋…＋F(1024)＝0＋1×2＋2×2＋3×2＋…＋9×2＋10.239令T＝1×2＋2×2＋3×2＋…＋9×2，①23910则2T＝1×2＋2×2＋…＋8×2＋9×2.②9239102(1－2)10101010①－②，得－T＝2＋2＋2＋…＋2－9×2＝－9×2＝2－2－9×2＝－8×2－2，1－210∴T＝8×