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时间:2020-06-02
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1、2016年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题(考试时间:2016年5月22日上午8:30—11:00)考试形式:闭卷考试时间:150分钟满分:150分题号填空题111213总分得分注意:1.所有答题均写在密封线右边,写在其他纸上一律无效;2.密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.一、填空题(本大题共10小题,每小题8分,共80分,请将答案填写在下面答题卡相应的横线上)321.(10,100);2.-2;3.(ab);4.;5.3;2443[,]6.2;7.8204;8.72;9.①③④;10
2、.33;11.(赵继源供题)函数fx()的定义域是______________.2(lg)x3lgx2答案:(10,100)2解:要使函数有意义,应有(lg)x3lgx20,解得1<lgx<2,即10<x<100,故函数的定义域为(10,100).2.(赵继源供题)xy设实数x,y满足y62x,向量a=(2x-y,m),b=(-1,1),若a∥b,则实数m的最小值x1为.答案:-2.2xym解:由已知,若a∥b,则,即m=-2x+y.11由m=-2x+
3、y,得y=2x+m,作出不等式对应的可行域(阴影部分),并平移直线y=2x+m,由平移可知当直线y=2x+m经过点B时,直线y=2x+m的截距最小,此时m取得最小值.2016年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题第1页(共7页)xy,x2由,解得,即B(2,2).y62.xy2将B(2,2)坐标代入m=-2x+y,得z=-4+2=-2,即目标函数m=-2x+y的最小值为-2.22ab3.(黎福庆供题)设a、b都为大于零的常数,0x1,则的最小值为.x1x2答案:(ab)222
4、2abab解:x(1x)x1xx1x开始222222a(1x)bx22a(1x)bxS=0,n=1abab2x1xx1x否n≤20172(ab).(或直接用柯西不等式也行)是4.(唐光明供题)运行右侧的程序框图,输出的结果S的值为.πS=S+sin(n)输出S33答案:.2n=n+1结束23456解析:因为sinsinsinsinsinsin0,333333根据周期性,该程序的功能是计算:23420173sin
5、sinsinsinsinsin.333333235.(王强芳供题)已知函数fx()x对应的曲线在点(,())(afakN)处的切线与x轴的交点为kkf(3a)f(3a)f(3a)1210(a,0),若a1,则.k112101()3答案:322解:由fx'()3x得曲线在点(,())(afakN)处的切线斜率k3a,故切线方程为kkk32ya3(axa).kkk2a22k1令y0得aa,故数列{}a是首项a1,公比q的等比数列,k1kn1
6、3a33k10a1(1q)10又f(3a)f(3a)f(3a)aaa3(1q),121012101q2016年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题第2页(共7页)f(3a)f(3a)f(3a)1210所以3.2101()3x6.(王强芳供题)已知点P在曲线y=e上,点Q在曲线y=lnx上,则PQ的最小值是_______答案:2xx解:因曲线y=e与y=lnx关于直线y=x对称.所求PQ的最小值为曲线y=e上的点到直线y=x最小距离xx
7、ex
8、exxxd(x),
9、的两倍,设P(x,e)为y=e上任意点,则P到直线y=x的距离22x/e1/2因d(x)0x0,d(x)0x0,所以,d(x)mind(0),即PQmin=2.22*7.(唐光明供题)设m∈N,log2m的整数部分用F(m)表示,则F(1)+F(2)++F(1024)的值是_________.答案:8204解析:依题意,F(1)=0,F(2)=F(3)=1,有2个2F(4)=F(5)=F(6)=F(7)=2,有2个.3F(8)=…=F(15)=3,有2个.4F(16)=…=F(
10、31)=4,有2个.…9F(512)=…=F(1023)=9,有2个.F(1024)=10,有1个.239故F(1)+F(2)+…+F(1024)=0+1×2+2×2+3×2+…+9×2+10.239令T=1×2+2×2+3×2+…+9×2,①23910则2T=1×2+2×2+…+8×2+9×2.②9239102(1-2)10101010①-②,得-T=2+2+2+…+2-9×2=-9×2=2-2-9×2=-8×2-2,1-210∴T=8×
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