人教版小学数学第十二册总复习统筹问题同步练习题.doc

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1、统筹问题例1.妈妈让小明给客人烧水沏茶．洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟．洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟．小明估算了一下，完成这些工作要20分钟．为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？【分析与解】：本题取自华罗庚教授1965年发表的《统筹方法平话》．首先向华老致敬。开水要烧，开水壶要洗，茶壶茶杯要洗，茶叶要取．怎样安排工作程序最省时间呢？　　办法甲：洗好开水壶，灌上凉水，放在火上，在等待水开的时候，洗茶杯，拿茶叶，等水开了，沏茶喝．　　办法乙：先做好一切准备工作，洗开水壶，洗壶杯，拿茶叶，灌水烧水，

2、坐等水开了沏茶喝．　　办法丙：洗开水壶，灌上凉水，放在火上坐待水开，开了之后急急忙忙找茶叶，洗壶杯，沏茶喝．　　谁都能一眼看出第一种办法好，因为后两种办法都“窝了工”．　　开水壶不洗，不能烧开水，固为洗开水壶是烧开水的先决条件，没开水、没茶叶、不洗壶杯，我们不能沏茶，因而这些又是沏茶的先决条件．它们的相互关系可以用下图的箭头图来显示．　　箭杆上的数字表示完成这一工作所需的时间，例如→表示从把水放在炉上到水开的时间是15分钟．从图上可以一眼看出，办法甲总共要16分钟，而办法乙、丙需20分钟．　　洗壶杯、拿茶叶没有什么先后关系，而且是由同一个人来做，因此可

3、以将上图合并成下图．先洗开水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待水开的过程中，同时洗壶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，总共用了16分钟．又因为烧开水的15分钟不能减少，烧水前必须用1分钟洗开水壶，所以用16分钟是最少的．例2.5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟．如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值．【分析与解】：5个人排队一共有5×4×3×2×1=120种顺序，把所有情形的时间总和都计算出来，就太繁琐了．凭直觉，应该把打

4、水时间少的人排在前面所费的总时间会省些．考虑用“逐步调整”法来严格求解．首先证明要使所费总时间最省，应该把打水时间需1分钟的人排在第一位置．假如第一位置的人打水时间要a分钟（其中2≤a≤5），而打水需1分钟的人排在第b位（其中2≤b≤5）．我们将这两个人位置交换，其他三人位置不变动．这样调整以后第b位后面的人每人排队打水所费的时间与调整前相同，并且前b个人每人打水所费时间也未受影响，但是第二位至第b位的人排队等候的时间都减少了（a-1）分钟，这说明调整后五个人排队和打水时间的总和减少了．换言之，把打水需1分钟的人排在第一位置所费总时间最省．　　其次，根

5、据同样道理，再将打水需2分钟的人调整到第二位置；将打水需3、4、5分钟的人逐次调整到第三、四、五位．所以将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队，所费时间最省．这样得出5人排队和打水时间总和的最小值是1×5+2×4+3×3+4×2+5×1=35（分钟）．例3.有一条可坐20人的木船要载40名学生从湖边到湖中A、B两岛参观.从湖边驶船到A岛需10分钟，到B岛需12分钟.A、B两岛之间船行需6分钟.A岛的参观时间需30分钟，B岛的参观时间需25分钟.问40名学生全部参观完两岛后返回湖边的最少用时是多少？（学生上下船的时间忽略不计）【分析与解】：由题设40名

6、学生要分两批乘船，这样我们将40名学生分成两组.由于乘船时间与参观时间都是固定的，所以要想节约时间只能是尽量减少学生“等船”的时间.由此分析，第一组学生应先去A岛参观，因为A岛比B岛近“2分钟”的路程，这样第二组学生等船的时间为20分钟（木船往返湖边与A岛所用时间），接下去是第二组学生去A岛还是去B岛参观的问题，我们分两种情况讨论：　　（1）第二组学生也去A岛参观。　　当第二组学生到达A岛时，时间已经过去了30分钟（等船20分钟，乘船10分钟）.第二组开始参观A岛，此时第一组已经在A岛参观了20分钟，10分钟后第一组参观完A岛，乘船去B岛参观，木船将第

7、一组送到B岛后立即返回A岛，由A岛与B岛之间乘船为6分钟，所以木船往返时间为12分钟.当木船回到A岛时，第二组在A岛已参观了22分钟.8分钟后第二组参观完A岛，立即到B岛.第二组到达B岛时，第一组已参观了20分钟（木船从B岛返回A岛的时间和等待第二组学生的时间以及再从A岛到B岛的时间总和）.第二组到达B岛后开始参观.5分钟后第一组参观完B岛，乘船返回湖边，木船将第一组送到湖边后又立即返回B岛接第二组，当木船到达B岛时，距木船把第二组送上B岛相隔了29分钟（木船等待第一组5分钟，往返B岛与湖边24分钟）.此时第二组已参观完B岛并且已等候了4分钟.当第二组

8、乘船返回湖边时，整个参观过程一共用时（等于第二组参观共用的时间）为：等候乘船共（20+4）分钟