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《浅议观察法在数学解题中应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、浅议观察法在数学解题中应用在数学中，判断解题是否合理的标准，在于其论据是否充分、推理是否严谨、结论是否正确，而不决定于采用什么样的方法.一、从式子进行观察【例1】解方程：XX11=11.解：显然x>0.方程两端各11次乘方，得(xll)xll=1111.可见xll=11,即x=ll11为原方程的解.反之，若x>1111,则由幕函数和指数函数的单调性可知xll>(1111)11=11,xxll>xll>=11；若10,必有xxllWl.综上所述，只要X/1111,就有xxllK11.故原方程之根为x=1111.【例2】证明恒等式(x~b)(x~c)/(a~b)(a
2、~c)+(x~c)(x~a)/(b~c)(b~a)+(x-a)(x-b)/(c~a)(c~b)=1.证：将等式看作x的二次方程，显然，x=a、x=b、x=c为该方程之根，又原式有意义时，a、b、c互不相等，则关于x的二次方程有三个相异根，矛盾，故原等式必为恒等式.二、借助于图形观察【例3】求使方程组x2~y2=a2,x2+y2-2x二0恰有三组解的a之值.解：若a」0,则双曲线x2-y2=a2与圆x2+y2~2x=0,即(X-1)2+y2=l最多只有两个公共点，方程组不能有三组解.当a=0时，方程组恰有三组解.x1二0,y1=0；x2=1,y2=1；x3=1,y
3、3二T.故当且仅当a二0时，方程组恰有三组解.三、取特殊值观察【例4】设6e[0,(sin0-1)=cos0.n2］,解方程sin。解：注意到0e(0,n为负，2)时方程左边为正，右边・.・方程在0e(0,Ji2)上无解.故原方程在()仁［0,兀2］上只有解。二n2.利用观察法，常可使一些问题的求解方法化难为易，求解过程去繁从简.如上例4,若用公式sin9=2t/(l+t2),cos。二(l~t2)/(l+t2),则原方程化为2tl+t2・(2tl+t2-l)=l-t21+t2.其中t二tan129.化简得t4-2t3+4t2-2tT二0.(*)用综合法知方程(
4、*)有解t二1,即tan129-1.又120e[0,12孔],120=孔4,可知0=n2为原方程之解•再令f(t)=t3-t2+3t+l,则f'(x)=3t2-2t+3.・..△二(一2)2—4X3X30,f(t)为增函数.又ee[0,12n],则te[0,1],故f(t)Nf(0)二l>0.f(t)二0无实数解，因此原方程除。=12n外别无他解.显然，这种解法较之前面的解法麻烦得多.由此可见,观察法是一种可靠的科学方法.但是，由于我们在教学中对观察法重视不够，致使有的学生不能很好地掌握观察法的要领，学生常常叙述得不够完整而使解题过程显得不合逻辑.还是上面所举的
5、例子，学生往往将原方程化为(*)以后，观察出方程有根t=1而求得0=n2,没有证明f(t)-f3_t2+3t+l在［0,n2］无实根，便说原方程的解是1二兀2,这就缺乏说服力了.但这不是观察法本身的问题，而是由于没有掌握观察法的要领而出现的问题.一般说来，观察法的要领是：若能观察出问题的所有解,则须说明“除此无他”；如果只能观察出问题的部分解，则应该用其他方法求出未观察出来的所有解.数学解题中可以猜到其解，有时还应当大胆地猜测，但对猜测的结果必须严格证明.因此，猜测本身只有助于问题的解决，并未彻底解决问题；而观察法由于包含了观察和论证两方面，是一个完整的解题过程
6、，与猜测其实是有本质区别的.（责任编辑金铃）
