角平分线辅线专题练习.doc

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1、角平分线专题1、轴对称性：内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。思路和方法：边角等造全等，也就是在角的两边上取相等的线段构造全等三角形基本结构：如图，2、角平分线的性质定理：注意两点（1）距离相等（2）一对全等三角形3、定义：带来角相等。4、补充性质：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则有AB:AC=BD:DC针对性例题：例题1：如图，AB=2AC,∠BAD=∠DAC,DA=DB求证：DC⊥AC例题2：如图，在△ABC中，∠A等于60°，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB求

2、证：DH=EH例题3：如图1，BC＞AB，BD平分∠ABC，且∠A+∠C=1800，BACDE图1求证：AD=DC．：思路一：利用“角平分线的对称性”来构造因为角是轴对称图形，角平分线是其对称轴，因此，题中若有角平分线，一般可以利用其对称性来构成全等三角形．证法1：如图1，在BC上取BE=AB，连结DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，又BD=BD，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴∠A=∠DBE，AD=DE，又∠A+∠C=1800，∠DEB+∠DEC=1800，∴∠C=∠DEC，DE=DC

3、，BACDEF图2则AD=DC．证法2：如图2，过A作BD的垂线分别交BC、BD于E、F，连结DE，由BD平分∠ABC，易得△ABF≌△EBF，则AB=BE，BD平分∠ABC，BD=BD，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴AD=ED，∠BAD=∠DEB，又∠BAD+∠C=1800，BACDE图3∠BED+∠CED=1800，∴∠C=∠DEC，则DE=DC，∴AD=DC．说明：证法1，2，都可以看作将△ABD沿角平分线BD折向BC而构成全等三角形的．证法3：如图3，延长BA至E，使BE=BC，连结DE，

4、∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBE，又BD=BD，∴△CBD≌△EBD（SAS），∴∠C=∠E，CD=DE，又∠BAD+∠C=1800，∠DAB+∠DAE=1800，∴∠E=∠DAE，DE=DA，则AD=DC．说明：证法3是△CBD沿角平分线BD折向BA而构成全等三角形的．思路二：利用“角平分线的性质”来构造由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以根据这个性质，可以过角平分线上一点向角的两边作垂线而构成两个全等的直角三角形．证法4：如图4，从D分别作BC、BA的垂线，垂足为E、F，∵BD平分

5、∠ABC，∴DE=DF，又∠BAD+∠C=1800，∠BAD+∠FAD=1800，∴∠FAD=∠C，∴△FAD≌△ECD（AAS），则AD=DC．BACDFE图4例题4已知：如图5，在△ABC中，∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB.求证：AC+CD=AB证明：在AB上截取AE=AC，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB，AD=AD，∴△CAD≌△EAD，∴∠DEA=90°，∵∠C=90°，AC=BC，∴∠B=45°，∴∠B=∠BDE=45°∴DE=BE，∴AC+CD=AE+DE=AE+BE

6、=AB，即AC+CD=AB.例题5．已知：如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合，当∠A满足什么条件时，点D恰为AB中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB中点.解：当∠A=30°时，点D恰为AB的中点.∵∠A=30°，∠C=90°(已知)，∴∠CBA=60°(直角三角形两锐角互余).又△BEC≌△BED(已知)，∴∠CBE=∠DBE=30°，且∠EDB=∠C=90°(全等三角形对应角相等)，∴∠DBE=∠A(等量代换

7、).∵BE=AE(等角对等边)，又∠EDB=90°，即ED⊥AB，∴D是AB的中点(三线合一).角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。求证：证明：延长BE交AC于点F。因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，所以AD为∠BAC的对称轴，又因为BE⊥AD于F，所以点B和点F关于AD对称，所以BE=FE=BF，AB=AF，∠ABF=∠AFB。因为∠ABF＋∠FBC=∠ABC=3∠C，∠

8、ABF=∠AFB=∠FBC＋∠C，所以∠FBC＋∠C＋∠FBC=3∠C，所以∠FBC=∠C，所以FB=FC，所以BE=FC=（AC－AF）=（AC－AB），所以。二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段如图所示，∠1=∠2，P为BN上的一点，并且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD。求证：∠BAP＋∠BCP=180°。证明：经过点P作PE⊥AB于点E。因为PE⊥AB，PD⊥BC，∠1=∠2，所以PE=PD。在Rt△PBE和Rt△PBC中所以