一元函数微积分学内容提要.doc

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1、第四部分一元函数微积分第11章函数极限与连续[内容提要]一、函数：(138-141页）1、函数的定义：对应法则、定义域的确定、函数值计算、简单函数图形描绘。2、函数分类：基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的统称）；复合函数（）；初等函数（由常数和基本初等函数构成的，且只能用一个式子表达的函数）；分段函数；隐函数；幂指函数（）；反函数。3、函数的特性：奇偶性；单调性；周期性；有界性.二、极限：1、极限的概念：(141-142页)定义1：（数列极限）给定数列，如果当无限增大时，其通项无限趋向于某一个常数，即无限趋近于零，则称数列以的极限，或称数列收敛于，

2、记为，若没有极限，则称数列发散。定义2：（时函数的极限）设函数在点的某一去心邻域内有定义，当无限趋向于（）时，函数的值无限趋向于，则称时，以为极限，记作。左极限：设函数在点的左邻域内有定义，当且无限趋向于时，函数的值无限趋向于常数，则称时，的左极限为，记作。右极限：设函数在点的右邻域内有定义，当且无限趋向于时，函数的值无限趋向于常数，则称时，的右极限为，记作。定义3：（趋于无穷大时函数的极限）设在区间时有定义，若无限增大时，函数的值无限趋向于常数，则称当时，以为极限，记作。左极限：设函数在上有定义，若时，的值无限趋近于常数，则称当时，以为极限，记作。右极限：设函数在上有定义，若

3、时，的值无限趋近于常数，则则称当时，以为极限，记作。注意：①极限与左右极限的关系．②讨论极限时，与在处是否有定义无关，与函数值也无关。2、极限的性质：(143页)（1）唯一性：若存在，则极限值唯一。（2）有界性：若（），则在内（充分大时）是有界的；（3）保号性：设，如果（或），则在内，有（或）；反之，如果在内有（或），则必有（或）．推广：设，，如果，则在内，有；反之，如果在内有，则必有。注意：当时，保号性结论类似。3、无穷小量与无穷大量：(146-149页)（1）无穷小量与无穷大量的概念及关系：无穷小量：若，则称函数为时的无穷小量。（无穷小量是函数有极限的特殊情形，即）无穷大量

4、：若时，无限变大，则称为时的无穷大量。（无穷大量是函数没有极限的特殊情形；即）（2）值得注意的几个关系：①极限与无穷小量关系：，（其中为无穷小，即）；②在自变量的同一变化过程中，若为无穷大量，则为无穷小量；若（）为无穷小量，则为无穷大量。③若，则称在（或）内为无界函数。即无穷大量必为无界函数，但无界函数不一定为无穷大量。例如：在为无界函数，但当时，不是无穷大量。（3）无穷小量的比较：设时，且，1）若为常数，则称时与为同阶无穷小；特别的：当时，则称时与是等价无穷小，记作：时。2）若，则称时是比高阶的无穷小，记作；3）若，则称时是比低阶的无穷小。（4）无穷小量的替换定理：设时，都是

5、无穷小量，且，极限存在，则。例：；三、函数的连续性1、连续的概念：（149-147页）名称定义函数在点连续若，则称在点处连续.或若则称在点处连续.左连续若，称在点处左连续.右连续若，称在点处右连续.函数在点处连续的充要条件在点处左连续且右连续.即函数在内连续若在内的每一点均连续，称在内连续.函数在上连续若在内连续，且在点右连续（），在点左连续（），称函数在上连续.2、间断点及其分类：（147-151页）定义：函数的不连续点叫其间断点.分类：设为的间断点（1）若及均存在，则叫的第一类间断点，若=（即存在）叫第一类可去间断点；（2）若及有一个不存在，则叫的第二类间断点.3、连续函数

6、的运算：（148页）（1）四则运算：两个连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数.（2）反函数的连续性：若原函数单值、单调且连续，则其反函数也单值、单调且连续.（3）复合函数的连续性：两个连续函数所复合成的复合函数必连续.（4）初等函数的连续性：结论：一切基本初等函数在其定义域均连续.初等函数在其定义区间均连续.4、闭区间上连续函数的性质:（148-149页）（1）有界性：设在上连在续，则在上有界.（2）最值定理：设在上连续，则在上必有最大值和最小值.即，使得，有.（3）零点存在定理：设在上连续，且，则，使得.（函数值为零的点叫该函数的零点）（4）介值定理：设在上连续

7、，，是介于之间的任何实数，则必，使得.推论：闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.四、计算极限的常用方法：（类型：，，，，，，等等）★（1）观察法：例如：；；。★（2）四则运算法则：若，，则i）ii）推广：（常数），（自然数）iii）★（3）两个重要极限公式：，或★（4）利用函数的连续性：若在点处连续，则．★（5）利用无穷小量的性质：在同一自变量的变化过程中，i）有限个无穷小量的代数和与乘积仍是无穷小量；ii）无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量；iii）无穷小量与有极限的变