利用导数研函数的单调性问题.doc

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1、利用导数研究函数的单调性问题浙江省湖州中学李连方一．学情分析本人任教的两个班级均侧文，数学基础较薄弱．学生已基本掌握利用导数对常系数的单调区间求解，但是对含参数单调性问题常常一筹莫展，找不到分类的标准或者分类不合理、不完整．二．教学目标用导数讨论函数的单调性，是运用导数解决函数的极值、函数的最值的基础，所以本节复习课首先要让学生理解函数单调性和导数的关系，会用导数讨论含参函数的单调性，让学生理解含参函数单调性问题实质是解不等式问题，而解不等式问题实质是根的问题．其次，逐步使学生意识到要合理准确地分类讨论问

2、题，体会到分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要地对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，然后综合各类结果得到整个问题的解答，其实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”．在分类讨论时，时刻注意：一要分类对象确定，标准统一；二要不重复，不遗漏；三要分层次，不越级讨论．三．教学重点和难点本节课的教学重点是能使学生明确产生分类讨论的标准，能合理、准确和完整地进行分类讨论．本节课的教学难点是分类标准难以把握，本节课试图从方程的根的角度来突破难点．四．教学设计【例1】（《创计新设

3、》第42页）已知函数，．（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数的单调性．分析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）由题意得，其中根为或．①当时，若，则；若，则．所以当时，函数f(x)在区间上为减函数，在区间上为增函数．②当时，当或时，；当时，．所以函数在区间与上为减函数，在上为增函数．【设计意图】1．让学会认识到函数的单调性、函数的单调区间和极值等问题，最终归结到判断的符号问题上，而或，最终可转化为解不等式问题．若含参数，则含参数的不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题；2．让学生体会解不等式实质在解不等式对

4、应的方程的根．【例2】（2008年浙江省高考试题改编）已知是实数，函数．（Ⅰ）讨论函数的单调区间；分析：函数的定义域为，，其中方程根为．①若即，则，有单调递增区间；②若即，则当时，，当时，．有单调递减区间，单调递增区间．【设计意图】1．让学生意识到函数的单调性、最值、极值等函数性质问题时，必须优先考虑函数的定义域，并在解题时时刻注意其定义域；2．让学生体会到讨论单调性的基本步骤：一看定义域；二算方程有无根（在实数范围）；三思在所给函数定义域内有无根．【变形】已知是实数，函数，．讨论求函数的单调区间．【设计

5、意图】让学生板演和自主练习，能更好地使学生巩固如何把握分类讨论标准，让学生进一步领会分类讨论的思想．【例2】（Ⅱ）设为在区间上的最小值．求的表达式．（Ⅱ）分析：函数的定义域为，其中方程根为．①若即，在上单调递增，所以．②若即，在上单调递减，所以．③若即，在上单调递减，在上单调递增，所以．综上所述，【设计意图】由于浙江省高考中导数在函数中的应用最常出现的问题是最值问题，让学生体会到，单调性的讨论是求解最值问题的关键．【例3】（《创计新设》第42页）设函数，其中为常数．（Ⅰ）若，求函数的图象在点处的切线方程；

6、（Ⅱ）讨论函数的单调性．分析（Ⅰ）略；（Ⅱ）函数的定义域为，，其中，对应方程，①显然当时，故，此时有单调递增区间；②若即时，恒成立，故，此时有单调递减区间；③若即且时，设，．(i)当时，由韦达定理知，，故当或时，有；当时，有．故有单调递减区间和，单调递增区间．(ii)当时，注意当函数的定义域为，显然，故函数有单调递增区间．综上可得：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，故有单调递减区间和，单调递增区间．【设计意图】1．让一部分优秀学生能掌握较为复杂一元二次不等式解集的分类，学会层层分类，做

7、到不重复，不遗漏．其中解一元二次不等式分类标准一：首先判断二次项系数是否为零，目的是讨论不等式是否为二次不等式；分类标准二：二次项系数的正负，目的是讨论二次函数图象的开口方向；分类标准三：判别式的正负，目的是讨论二次方程是否有解；分类标准四：两根差的正负，目的是比较根的大小；2．强化一元二次方程根的问题常常采用数形结合和韦达定理，渗透利用图像解不等式的方法．3．让学生反思答案中为什么会出现当“时，函数在上单调递增”．事实上利用复合函数可以得到当，一定单调递增，所以在解题仅仅需要考虑，从而简化计算．进一步可

8、以引导学生判断单调性不要局限于导数，不盲目地使用导数，在解题时时要善于分析问题，从整体上、宏观上把握问题．【备用】已知函数()．若函数f(x)在区间上不单调，求的取值范围．分析：由题意得，因为函数在区间上不单调，所以方程在上有实数解，且无重根．或，解得另解：由题意得，因为函数在区间上不单调，所以方程在上有实数解，且无重根，又由得，．，解得．若，得，此时解得，因此所求的取值范围是．【设计意图】进一步强化把握分类分类标准的核心是：