数学归纳法 (有答案).doc

《数学归纳法 (有答案).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、数学归纳法2015高考会这样考　1.考查数学归纳法的原理和证题步骤；2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力．复习备考要这样做　1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用；2.规范书写数学归纳法的证题步骤．一、知识梳理数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成

2、立．上述证明方法叫作数学归纳法．[难点正本　疑点清源]1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．小试牛刀1．凸k边形内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和为f(k＋1)＝f(k)＋________.答案　π解析　易得f(k＋1)＝f(k)＋

3、π.2．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋1)”，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项的项数是________．答案　2k解析　n＝k时，左边＝1＋＋…＋，当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋…＋.所以左边应增加的项的项数为2k.3．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边需计算的项是(　　)A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3答案　C解析　观察等式左边的特征易知选C.4．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2时，若已假设n＝k(k≥2

4、且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证(　　)A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立答案　B解析　因为假设n＝k(k≥2且k为偶数)，故下一个偶数为k＋2，故选B.5．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋答案　D解析　从n到n2共有n2－n＋1个数，所以f(n)中

5、共有n2－n＋1项.二、典型例题题型一　用数学归纳法证明等式例1　已知n∈N*，证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.思维启迪：等式的左边有2n项，右边有n项，左边的分母是从1到2n的连续正整数，末项与n有关，右边的分母是从n＋1到n＋n的连续正整数，首、末项都与n有关．证明　①当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，等式成立；②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，那么当n＝k＋1时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋－＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋＝右边，所以当n＝k＋1时等式也成立．综合①②知对一切n∈N*，等式都成立．探究提高　用

6、数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值n0的取值并验证n＝n0时命题的真假(必不可少)．“假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题正确”并写出命题形式分析“n＝k＋1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．【变式1】　用数学归纳法证明：对任意的n∈N*，＋＋…＋＝.证明　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N

7、*)时等式成立，即＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．题型二　用数学归纳法证明不等式例2　用数学归纳法证明：1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)．思维启迪：利用假设后，要注意不等式的放大和缩小．证明　(1)当n＝1时，左边＝1＋，右边＝＋1，∴≤1＋≤，即命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>1＋＋2k·＝1＋.又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋<＋k＋2k·＝＋(k＋1)，即n＝

8、k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对所有n∈N*都成立．探究提高　(1)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两