求轨迹方程方法总结.doc

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1、高考数学中求轨迹方程的常见方法一、直接法.u.c.o.m当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程,称之直接法.例1已知点、动点满足，则点的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解：，.由条件，，整理得，此即点的轨迹方程，所以的轨迹为抛物线，选D.例1已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：，动点M到圆C的切线长与的比等于常数（如图），求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．【解析】：设M（x，y），直线MN切圆C于N，则

2、有，即，．整理得，这就是动点M的轨迹方程．若，方程化为，它表示过点和x轴垂直的一条直线；若λ≠1，方程化为，它表示以为圆心，为半径的圆．二、定义法定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.CByxOA例2已知中，、、的对边分别为、、，若依次构成等差数列，且，，求顶点的轨迹方程.解：如右图，以直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系.由题意，构成等差数列，，5即，又，的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，，，故的

3、轨迹方程为.例3若动圆与圆外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程是（A）（B）（C）（D）【解析】：如图，设动圆圆心为M，由题意，动点M到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x=4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x=4为准线的抛物线，并且p=6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是．选（B）．例4一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为（A）抛物线（B）圆（C）双曲线的一支（D）椭圆【解析】：如图，设动圆圆心为M，半径为r，则有动点M到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨

4、迹是以O、C为焦点的双曲线的左支，选（C）．三、点差法将直线与圆锥曲线的交点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法"。例3抛物线焦点弦的中点轨迹方程是。设弦端点，中点为，则因为所以w.w.w.k.s.5.u.c.o.m四、几何法几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.例4已知点、，过、作两条互相垂直的直线和，求和5的交点的轨迹方程.解：由平面几何知

5、识可知，当为直角三角形时，点的轨迹是以为直径的圆.此圆的圆心即为的中点，半径为，方程为.故的轨迹方程为.五、参数法参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.例5过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程.解：设，直线的斜率为，则直线的斜率为.直线OA的方程为，由解得，即，同理可得.由中点坐标公式，得，消去，得，此即点的轨迹方程.例5设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴

6、的长度之比为t．（1）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．【解析】：（1）设所求椭圆方程为由题意得解得所以椭圆方程为．(2)设点解方程组得5由和得其中t＞1．消去t，得点P轨迹方程为和．其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分．六、交轨法求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.xA1A2OyNM

7、P例6如右图，垂直于轴的直线交双曲线于、两点，为双曲线的左、右顶点，求直线与的交点的轨迹方程，并指出轨迹的形状.解：设及，又，可得直线的方程为①；直线的方程为②.①×②得③.又，代入③得，化简得，此即点的轨迹方程.当时，点的轨迹是以原点为圆心、为半径的圆；当时，点的轨迹是椭圆.例6已知两点以及一条直线：y=x，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．【解析】：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设5，则PA：QB：消去t，得当t=－2，或t=－1时，PA与QB

8、的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是七、代入法yQOxNP当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.例7如图，从双曲线上一点引直线的垂线，垂足为，求线段的中点的轨迹方程.解：设，则.因为在直线上，①又得即.②联解①②得.又点在双曲线上，，化简整理得：，此即动点的轨迹方程.例2已知抛物线，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点