例谈数列复中的八点注意事项.doc

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1、例谈数列复习中的八点注意事项常宁市职业中等专业学校崔文华（421500）数学复习中的“会而不对，对而不全”一直困扰着大多数学生，如何解决此问题，一条有效的途径是“防范于未然”，从别人的错误中总结经验，争取做到“墨水流到哪里，分数得到哪里”。下面以数列中常出现的错误为例，提出八点注意的问题。一、注意定义域（项数的起始值）数列可以看作是定义在自然数集或它的子集上的函数，而函数的学习中要注意它的定义域，因此，学习数列也应注意它的定义域，即项数的起始值问题，否则会导致解题失误。例1、已知数列的前项的和为，，当时，，求。错解：当时，①②以上两式相减得即③数列是以为首项，以为公比的

2、等比数列，剖析：由于没有注意的起始值问题致错，事实上，①中，②中，从而③中应当，所以数列从第二项起才是等比数列。显然，所以正确的通项公式为二、注意等比数列中的每一项都不为零由等比数列的定义知等比数列中的每一项均不为零，在解题中容易忽视此条件而导致解题失误。例2、⑴是成等差数列的[]A、充分但不必要条件B、必要但不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件⑵若数列的前项和为，则数列是[]A、等比数列B、等差数列C、可以是等比数列，也可以是等差数列D、可以是等比数列，但不可能是等差数列错解：⑴由知选C。⑵由，易知，故选A。剖析：⑴中可以为，故不能推出成等比数列，正确答案为

3、B。⑵当时，是等差数列，但不是等比数列，正确答案为C。三、注意的使用条件数列的通项与前项的和的关系为故由求时需分与两种情况讨论，学生容易忽视而导致解题失误。例3、若数列前项的和，则的值为。错解：剖析：上述解法忽视了公式成立的条件，正确的通项公式为故数列从第二项为等差数列，从而数列从第二项起是等差数列，所以四、注意不能以特殊代替一般证明（或判断）一个数列是等差（或等比）数列时，不能仅用前几项来证明或判断。例4、已知数列中，，且数列为等比数列，求常数。错解：由题意知，，成等比数列，即解得。剖析：一个命题在特殊情况下不成立，则在一般情况下也不成立，但在特殊情况下成立时，在一般

4、情况下不一定成立，故可以用特殊否定一般，但不能用特殊肯定一般，上述证明过程犯了以偏概全的错误，正确解答过程是由，，成等比数列，求出，或由，，成等比数列，求出值后，再由定义证明是等比数列（即由特殊值求出结论后，再给出一般性的证明）。五、注意考虑特殊情况例5、已知各项均不为的等差数列，求证：错证：设数列的公差为，则剖析：上述证明过程只有在时成立，忽视了特殊情况，本题需要分与两种情况证明（证明过程略）。六、注意子数列的公差（或公比）例6、已知数列的通项则的值为。错解：由已知得是首项为，公比为的等比数列，是首项为，公比为的等比数列。剖析：上述解法没有分清子数列与的公比，事实上的

5、公比为，的公比为，故正确答案应为。七、注意公比的三个盲点等比数列中关于公比有三个“盲点”：，。⑴公比是决定公比的首要条件；⑵公比是使用等比数列求和公式公比的前提条件；⑶公比是一个较为隐蔽的条件。这三个盲点始终伴着公比，稍有不慎，就会不知不觉地犯错误。例7、⑴已知数列是等比数列，其前项的和满足，求的取值范围。⑵设等比数列的前项的和为，若成等差数列，求数列的公比。⑶若是等比数列的前项和，试判断是否为等比数列？错解：⑴由题意得又，故⑵由已知，得由等比数列的求和公式得化简得，解得或⑶，同理，所以成等比数列。剖析：⑴忽视了等比数列的公比，正确答案是；⑵忽视了公式成立的条件，正确的

6、答案应分与两种情况讨论，当时，显然题设条件不成立，当时，同上求得；⑶忽视了，为偶数时，，即当时，为偶数时，不成等比数列。八、注意，存在，三者中的取值范围；；无穷递缩等比数列求和公式：。例8、⑴若，则的取值范围是；⑵若存在，则的取值范围是；⑶等比数列中，前项的和满足，则的取值范围是。解：⑴即⑵存在，即⑶又