例1 任意个整数中,有其中两个整数的和为偶数.doc

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1、例1任意三个整数中,有其中两个整数的和为偶数.　　证明我们将所有整数分成两类:一类是型如2k的数,一类是型如2k+1的数,则我们可以将两类数视为两个抽屉,而将3个整数看作元素放入这两个抽屉.所以,由抽屉原理知道其中存在两个整数在同一个抽屉里,即它们的型式相同.于是它们的和必为偶数.　　例2任意5个整数中,有其中3个整数的和为3的倍数.证明我们将所有的整数分成3类:一类是型如3k的数,一类是型如3k+1的数,一类是型如3k+2的数,则我们可以将这3类数视为3个抽屉,而将5个整数看作元素放入这3个抽屉.所以,由抽屉原理知道其中至少存在2=个整

2、数在同一个抽屉里,即它们的型式相同,为(3k+)型整数,其中=0,1或2.例3解不定方程525x+231y=42.解因为(525，231)=21，用21除不定方程得25x+11y=2.又(25，11)=1，所以，我们有25×(4)+11×(-9)=1，因此，x=2×4=8，y=2×(-9)=-18是所给方程的一组解，于是所求的一般解为x=8+11t，y=-18-25.显然，例1没有正整数解.例4求7x+4y=100的一切整数解.解我们先解7x+4y=1.这里(7，4)=1.7=4×1+3，4=3×1+1，3=1×3+0.我们逆转上述运算过

3、程，得到1=4-3×1，3=7-4×1.将3=7-4×1代入前一式，得到1=4-(7-4×1)×1=4-7×1+4×1×1=7×(-1)+4×(1+1×1)=7×(-1)+4×(2)=1.所以，满足方程7x+4y=1的一组解为x=-1，y=2.于是，方程7x+4y=100的一组特殊解是x=(-1)×lang=EN-US>100=-100，y=2×lang=EN-US>100=200.由定理1.1，方程7x+4y=100的一切解的形式为x=-100+4t，y=200-7t，().例5求解三元一次不定方程50x+45y+36z=10。解我们将

4、它分为两个二元一次不定方程来求解50x+45y=5t，5t+36z=10。利用求二元一次不定方程的方法，因为50(t)+45(-t)=5t，5(-70)+36(10)=10，所以，上面两个方程的解分别为，。消去t就得到所求的解这里是任意整数。例6求9x+24y-5z=1000的一切整数解。解因为(9，24)=3，(3，-5)=1，所以我们考虑方程9x+24y=3t，3t-5z=1000，即等价于3x+8y=t，3t-5z=1000。　　利用求二元一次不定方程的解法，得到这里是任意整数。