数学培优竞赛新方法(九年级)-第2讲-判别式--二次方程的根的检测器.doc

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1、第二讲判别式——二次方程的根的检测器我没有试图直接解决某一物理问题，而只是试图寻求某种优美的数学------狄拉克知识纵横在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等．我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用：利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题．例题求解【例1】(1)关于的方程有

2、两个不相等的实数根，则的取值范围是。（广东省竞赛题）（2）关于的方程只有一个实数根，则的取值范围是。（四川省竞赛题）思路点拨对于（1），利用判别式建立关于的不等式组，注意的隐含制约；对于（2），通过变更主元，将高次方程转化为一元二次方程根的情形讨论。【例2】若实数、满足，则的取值范围是（）A、B、或C、D、（《数学周报》杯全国初中数学竞赛题）思路点拨原等式可整理成关于的一元二次方程。【例3】已知关于的方程，(1)求证：无论取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形△ABC的一边长＝1，另两边长、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC

3、的周长．（荆门市中考题）思路点拨对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分或、中有一个与c相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出、的值．【例4】设方程，只有3个不相等的实数根，求的值和相应的3个根．（重庆市竞赛题）思路点拨去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零．【例5】已知，求证：（无锡市竞赛题）分析本例可按以下不同思路探索：（1）从变形条件等式切入；（2）条件等式在形式上类似“”,从构造一元二次方程入手。图形存在性探究【例6】求证：对任

4、意一个矩形A，总存在一个矩形B，使矩形B与矩形A的周长和面积比等于（福建省竞赛题）学力训练基础夯实1、关于的方程有实数根，则整数的最大值是。（芜湖市中考题）2、关于的一元二次方程，给出以下说法：①若△，则方程一定有两个不相等的实根。②若是方程的一个根，则△。③若，则方程一定有两个不相等的实数根。④若，则方程必有两个不相等的实数根。其中，正确的说法的序号是。3、等腰△ABC中，的长是关于的方程的两根，则。（宁波市中考题）4、若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（）A、B、C、D、（扬州市中考题）5、已知一直角三角形的三边为、、，∠

5、B=，那么关于的方程的根的情况为（）。A、有两个相等的实根B、没有实数根C、有两个不相等的实数根D、无法确定（河南省中考题）6、关于x的方程x2+2kx+k-1=0的根的情况描述正确的是（　　）A．k为任何实数，方程都没有实数根B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种（2011年潍坊市中考题）7、在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相

6、等的实数根，求△ABC的周长．（江津市中考题）8、已知△ABC的三边长为a、b、c，判断方程有无实根。9、已知：关于x的一元二次方程mx2-（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）．若y是关于m的函数，且y=x2-2x1，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m？（北京市中考题）10、方程的实数解为。（安徽省竞赛题）11、已知关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是。1

7、2、若方程有且只有相异二实根，则的取值范围是．13．如果关于的方程没有实数根，那么关于的方程的实根的个数()A．2B．1C．0D．不能确定14、设三个方程中至少有一个方程有实根，则的取值范围是（）。A、B、或C、或D、（江苏省竞赛题）14、若关于的方程没有实数根，则必有实根的方程是（）。A、B、C、D、（江西省竞赛题）16、已知，判断关于的方程的根的情况。（河南省竞赛题）17、设、、为互不相等的非零实数，求证：三个方程，不可能都有两个相等的实数根。18、关于的方程有有理根，求整数的值。（山东省竞赛题）综合创新19、已知正整数满足是完全平

8、方数，求的值。（武汉市竞赛题）20、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C．（1）当AB=4，DC=1，BC=4时，在线段BC上是否点P，使AP⊥PD？如果存在求线段BP的长；如果不存在，请说明理由