九年级数学竞赛判别式——二次方程根的检测器讲座.doc

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1、九年级数学竞赛判别式——二次方程根的检测器讲座为了检查产品质量是否合格,工厂里通常使用各种检验仪器,为了辨别钞票的真伪,银行里常常使用验钞机,类似地,在解一元二次方程有关问题时,最好能知道根的特性:如是否有实数根,有几个实数根,根的符号特点等.我们形象地说,判别式是一元二次方程根的“检测器”,在以下方面有着广泛的应用:利用判别式,判定方程实根的个数、根的特性;运用判别式,建立等式、不等式,求方程中参数或参数的取值范围;通过判别式,证明与方程相关的代数问题;借助判别式,运用一元二次方程必定有解的代数模型,解几何存在性问题、最值问题.【例题求解】【例1】已知关于的

2、一元二次方程有两个不相等的实数根,那么的取值范围是.(广西中考题)思路点拨利用判别式建立关于的不等式组,注意、的隐含制约.注:运用判别式解题,需要注意的是:(1)解含参数的二次方程,必须注意二次项系数不为0的隐含制约;(2)在解涉及多个二次方程的问题时,需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下,综合运用方程、不等式的知识.【例2】已知三个关于的方程:,和,若其中至少有两个方程有实根,则实数的取值范围是()A.B.或.D.(东省竞赛题)思路点拨“至少有两个方程有实根”有多种情形,从分类讨论人手,解关于的不等式组,综合判断选择.【例3】已知关于的方程,(1)求证:

3、无论取任何实数值,方程总有实数根;(2)若等腰三角形△AB的一边长=1,另两边长、恰好是这个方程的两个根,求△AB的周长.(湖北省荆门市中考题)思路点拨对于(1)只需证明△≥0;对于(2)由于未指明底与腰,须分或、中有一个与相等两种情况讨论,运用判别式、根的定义求出、的值.注:(1)涉及等腰三角形的考题,需要分类求解,这是命题设计的一个热点,但不一定每个这类题均有多解,还须结合三角形三边关系定理予以取舍.(2)运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉,而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考,竞赛依托判别式的创新题型,解这类问题常用到换元、分类讨论

4、等思想方法.【例4】设方程,只有3个不相等的实数根,求的值和相应的3个根.(重庆市竞赛题)思路点拨去掉绝对值符号,原方程可化为两个一元二次方程.原方程只有3个不相等的实数根,则其中一个判别式大于零,另一个判别式等于零.【例】已知:如图,矩形ABD中,AD=,D=,在AB上找一点E,使E点与、D的连线将此矩形分成的三个三角形相似,设AE=,问:这样的点E是否存在?若存在,这样的点E有几个?请说明理由.(云南省中考题)思路点拨要使Rt△ADE、Rt△BE、Rt△ED彼此相似,点E必须满足∠AED+∠BE=90°,为此,可设在AE上存在满足条的点E使得Rt△ADE∽

5、Rt△BE,建立一元二次方程的数学模型,通过判别式讨论点E的存在与否及存在的个数.注:有些与一元二次方程表面无关的问题,可通过构造方程为判别式的运用铺平道路,常见的构造方法有:(1)利用根的定义构造;(2)利用根与系数关系构造;(3)确定主元构造.学力训练1.已知,若方程有两个相等的实数根,则=.2.若关于的方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是.(辽宁省中考题)3.已知关于方程有两个不相等的实数解,化简=.4.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是()A.B..且D.且(西省中考题).已知一直角三角形的三边为、、,∠B=90°,那么关于的

6、方程的根的情况为()A.有两个相等的实数根B.没有实数根.有两个不相等的实数根D.无法确定(河南省中考题)6.如果关于的方程只有一个实数根,那么方程的根的情况是()A.没有实数根B.有两个不相等的实数根.有两个相等的实数根D.只有一个实数根(2003年河南省中考题)7.在等腰三角形AB中,∠A、∠B、∠的对边分别为、、,已知,和是关于的方程的两个实数根,求△AB的周长.(济南市中考题)8.已知关于的方程(1)求证:无论取什么实数,方程总有实数根;(2)如果方程的两实根分别为、,满足=3,求实数的值.(盐城市中考题)9.、为实数,关于的方程有三个不等的实数根.(

7、1)求证:;(2)若该方程的三个不等实根,恰为一个三角形三内角的度数,求证该三角形必有一个内角是60°;(3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边,求和的值.(江苏省苏州市中考题)10.关于的两个方程,中至少有一个方程有实根,则的取值范围是.(2002年四川省竞赛题)11.当=,=时,方程有实数根.(全国初中数学联赛试题)12.若方程有且只有相异二实根,则的取值范围是.13.如果关于的方程没有实数根,那么关于的方程的实根的个数()A.2B.1.0D.不能确定14.已知一元二次方程,且、可在1、2、3、4、中取值,则在这些方程中有实数根的方程共有()A

8、12个B.10个.7个D.个(河南省中

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