时间模上二阶非线性中立型时滞泛函动态方程的振荡性.pdf

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1、第48卷第3期南开大学学报(自然科学版)Vo1．48N_o32015年6月ActaScientiarumNaturaliumUniversitatisNankaiensisJun．2015文章编号：0465—7942(2015)03—0024—08时间模上二阶非线性中立型时滞泛函动态方程的振荡性杨甲山，谭伟明，苏芳，覃学文(梧州学院信息与电子工程学院，广西梧州543002)摘要：为了进一步发展和完善时间模上动态方程的振荡理论，研究了时间模上的一类二阶Emden—Fowler型变时滞的中立型泛函动态方程{()(()+户()g(z(

2、r()))]))+q(￡)／((z((f))))一0的振荡性，其中(“)一l“，(“)一l“l(>0和>0均为实常数)．利用时间模上的有关理论和广义Ric—cati变换技术及积分平均技巧，借助时间模上的Holder不等式，得到了该方程振荡的一些新准则，所得结果充分反映了中立项和变时滞在系统振荡中的影响作用，推广和改进了一些已知结果，并举例说明了该结论的重要性．关键词：振荡性；时间模；泛函动态方程；变时滞中图分类号：O175．7文献标识码：A0引言近几年来，时间模上动态方程的振荡和非振荡等有关理论的研究引起了国内外学术界的广泛兴趣

3、和高度重视l1．本文研究时间模上一类二阶非线性中立型变时滞动态方程{a(￡)([(f)+(￡)g((r(f)))])}+q()(j2『2(z((￡))))一0，t∈T(1)的振荡性，式中：()一l“l一“，。()一I“【(>0和卢>0均为实常数)；函数“，P，q∈c(T，r∞1R)且0≤P()<1，g()>0，“()>0，并且JlAs一。。；滞量函数r，：T—T满足r()≤t，，“j，limr(t)一。。，8(t)≤t，limS(t)一。。；f，髯∈C(R，R)且当U≠0时有“／(“)>0，ug(“)>0和f(u)／u￡一≥，g

4、(“)／“≤￡o(此处L>0和0<￡。≤1均为常数)．时间模T是实数域R上的任意闭子集，它具有由R诱导的拓扑及顺序关系，当时问模T等于整数集N或实数集R时则分别表示差分方程和微分方程的经典理论．“动态方程”的新理论不仅在时间模上统一了差分方程和微分方程的理论，而且随着时间模的不同，将动态方程推广到了差分方程与微分方程“之问”，许多有意义的时间模是存在的u]．例如，当T—go一{q：t∈N>1}时，这样的动态方程称为g一差分方程，这类方程在量子理论方面有着非常重要的应用．再例如当T—hN，T—N一{t：t∈N}和T一f11T一{t

5、一>÷，∈N。)时，它们可以应用于异于差分方程和微分方程的动态方程．鬲由于感兴趣的是当t—Cx。时方程(1)解的振荡性，所以假设supT—c)o，设t。∈T且t。≥0，则Et。，。。)为时间模区间，其定义为Et。，O

6、中最常见的一种现象，它广泛存在于机械运动，电磁运动及原子运动等各种运动形式之中，而振荡现象往往通过方程的振荡理论表现出来．显然，方程(1)包含了收稿日期：2014—10-11基金项目：广西教育厅科研项目(2013YB223)；湖南省科技厅基金(2012FJ3107)作者简介：杨甲山(1963一)，男，湖南城步人，教授，研究方向：微分差分方程及动态方程．Email：syxyyjs@163．com第3期杨甲山等：时间模上二阶非线性中立型时滞泛函动态方程的振荡性。25‘其他很多重要的方程，因此研究方程(1)的振荡性是很有意义的．关于方

7、程(1)的特殊情形，很多文献已有讨论，如文献[1—3]讨论了当a>1为正奇数之商时方程(￡)(())]+q(f)()===0的振荡性，但其结果对0<≤1时不适用．紧接着，文献[4—5]解决了这个问题并改进了文献[1—3]的结果．之后，Saker和GraceE研究了当a和均为正奇数之商时方程[口()(z())。]+q()z(())一0的振荡性．本文研究的是更为一般的方程(1)的振荡性，得到了方程(1)振荡的新准则，拓广了a和p的取值范围，并同时得到了当现有的文献中相应的条件不满足时方程(1)的新振荡准则，推广并改进了一些已有的振荡

8、结果．引理1E设函数z()是△可微的且最终为正或最终为负，则[(z())]==：dz(￡)IEhx()+(1一)z()o-1dh．引理2111]若，B为非负实数，则当>1时AAB卜一A≤(一1)B，等号成立当且仅当A—B．引理3c8]时间模上的HOlder不等式