热学典型例分析.doc

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1、热学典型例题分析例1：在光滑的两端封闭且具有两种截面积的竖直管子中用无伸缩细绳将两不漏气、无摩擦活塞相连，活塞间装有1摩尔理想气体。上活塞截面积比下活塞截面积大，两活塞总质量为M，外部大气压强为P0，如图6—9所示。试问要使它们移动距离L，应使活塞间的气体温度改变多少？解析：这是一道热力学综合题，关键是通过分析上下活塞的受力情况，得出内外压强的联系，然后分析管子内封闭理想气体的变化过程。通过理想气体的状态方程，把体积和温度联系起来，即可求解。设上下活塞质量分别为m及M-m，横截面积分别为S+、S，绳子张力为T，封闭理想

2、气体的压强为P。由上、下活塞平衡条件可得：P(S+)=P0(S+)+mg+T（1）P0S+T=PS+(M—m)g（2）（1）、（2）两式相加，得P=P0+（3）由（3）式可知封闭理想气体的压强在整个过程中都不变，即封闭理想气体在作等压变化。设封闭理想气体温度为T时的体积为V，T+温度时的体积为V+，则由盖—吕萨克定律得（4）由1摩尔理想气体的状态方程得（5）由题意可知理想气体体积变化量为=(S+)L—SL=L（6）由（3）（4）（5）（6）式可得=+例2：一质量m=200kg，高2.00m的薄底大金属桶倒扣在宽广的水池

3、底部，如图6—10所示。桶的内横截面积S=0.500m2，桶壁加桶底的体积为V0=2.5010-2m3.桶内封有高度为l0=0.200m的空气。池深H0=20.0m，大气压强P0=10.00m水柱高，水的密度=1.000103kg/s2，重力加速度取g=10.00m/s2。若用图中所示吊绳将桶上提，使桶底到达水面处，求绳子拉力对桶所需做的最小功为多少焦耳？（结果要保留三位有效数字）不计水的阻力，设水温很低，不计其饱和蒸汽压的影响。并设水温上下均匀且保持不变。解析：当桶沉到池底时，桶自身重力大于浮力。在绳子的作用下桶被缓

4、慢提高过程中，桶内气体体积逐步增加，排开水的体积也逐步增加，桶受到的浮力也逐渐增加，绳子的拉力也逐渐减小。当桶受到的浮力等于重力时，即绳子拉力恰好减为零时，桶将处于不稳定平衡的状态，因为若有一扰动使桶略有上升，使浮力大于重力，无需绳的拉力，桶就会自动浮起，而不须再拉绳。因此绳对桶的拉力所需做的最小功等于将桶从池底缓慢地提高到浮力等于重力的位置时绳子拉桶所做的功。设浮力等于重力的不稳定平衡位置到池底的距离为H，桶内气体的厚度为l‘，如图6—8所示。因为总的浮力等于桶的重力mg，因而有(l‘S+V0)g=mg有l‘=0.3

5、50m（1）在由池底上升高度H到达不稳定平衡位置的过程中，桶内气体做等温变化，由玻—玛定律得[P0+H0—H—(l0—l‘)]l‘S=[P0+H0—(l0—l)]lS（2）由（1）（2）式可得H=12.24m（3）由（3）式可知H<(H0—l0)，所以桶由池底到达不稳定平衡位置时，整个桶仍浸在水中。由上分析可知，绳子的拉力在整个过程中是一个变力。对于变力做功，可以通过分析水和桶组成的系统的能量变化的关系来求解：先求出桶由池底缓慢地提高了H高度后的总机械能增量E。E由三部分组成：（1）桶的重力势能增量E1=mgH（4）（

6、2）由于桶本身体积在不同高度处所排开水的势能不同所产生的机械能的改变量vE2，可认为在H高度时桶本身体积所排开的水是去填充桶在池底时桶所占有的空间，这时水的重力势能减少了。所以E2=gH（5）（3）由于桶内气体在不同高度处所排开水的势能不同所产生的机械能的改变E3，由于桶内气体体积膨胀，因而桶在H高度时桶本身空气所排开的水可分为两部分：一部分可看为填充桶在池底时空气所占空间，体积为lS的水，这部分水增加的重力势能为E31=-l（6）另一部分为体积为(l’—l)S的水上升到水池表面，这部分水上升的平均高度为[H0—H—l

7、0+l+(l‘—l)/2]，增加的重力势能为E32=(l’—l)Sg[H0—H—l0+l+(l’—l)/2]（7）由整个系统的功能关系得，绳子拉力所需做的最小功为WT=E（8）将（4）（5）（6）（7）代入（8）式得WT=Sg[(l’—l)（H—l0）+(l‘2—l2)/2]（9）将有关数据代入（9）式计算，并取三位有效数字，可得WT=1.37104J