全国高中数联赛省级预赛模拟试题.doc

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1、全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第Ⅰ卷(选择题共60分)参考公式1.三角函数的积化和差公式sinα•cosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosα•sinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosα•cosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinα•sinβ=[cos(α+β)-cos(α-β)].2.球的体积公式V球=πR3(R为球的半径)。一、选择题(每小题5分,共60分)1.设在xOy平面上,0

2、x≤

3、y

4、},N={(x,y)

5、x≥y2

6、的交集M∩N所表示的图

7、形面积为A.B.C.1D.2.在四面体ABCD中,设AB=1,CD=,直线AB与直线CD的距离为2,夹角为。则四面体ABCD的体积等于A.B.C.D.3.有10个不同的球,其中,2个红球、5个黄球、3个白球。若取到一个红球得5分,取到一个白球得2分,取到一个黄球得1分,那么,从中取出5个球,使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A.90B.100C.110D.1204.在ΔABC中,若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC,则A.ΔABC是等腰三角形,但不一定是直角三角形B.ΔABC是直角三角形,但不一定是等腰三角形C.ΔABC既不是等

8、腰三角形,也不是直角三角形D.ΔABC既是等腰三角形,也是直角三角形5.已知f(x)=3x2-x+4,f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+48.那么,整系数多项式函数g(x)的各项系数和为A.8B.9C.10D.116.设00,且a2008+b2008=a2006+b2006。则a2+b2的最大值是A.1B.2C.2006D.20088.如图1所示,设P为ΔABC所在平面内一点,并且AP=AB+AC。则ΔABP的面积与ΔABC的面

9、积之比等于A.B.C.D.9.已知a,b,c,d是偶数,且0

10、、右焦点,P为双曲线左支上的任意一点。若的值为8a,则双曲线离心率e的取值范围是A.(1,+∞)B.(0,3]C.(1,3]D.(1,2]第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(每小题4分,共16分)13.已知,且。则的值是_________.14.设正数数列{an}的前n项之和为b,数列{bn}的前n项之积为cn,且bn+cn=1.则数列中最接近2000的数是_________.15.不等式的解集为_________.16.已知常数a>0,向量m=(0,a),n=(1,0),经过定点A(0,-a)以m+λn为方向向量的直互与经过定点B(0,a)以n+2+λm

11、为方向向量的直线相交于点P,其中,λ∈R。则点P的轨迹方程为_________.三、解答题(共74分)17.(12分)甲乙两位同学各有5张卡片。现以投掷均匀硬币的形式进行游戏。当出现正面朝上时,甲赢得乙一张卡片;否则,乙赢得甲一张卡片,规定投掷硬币的次数达9次或在此之前某人已赢得所有卡片时,游戏终止。设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数。求ξ取各值时的概率。18.(12分)设∠A,∠B,∠C是ΔABC的三个内角。若向量,且m•n=.(1)求证:tanA•tanB=;(2)求的最大值。19.(12分)如图2,ΔABC的内切圆⊙I分别切BC,CA于点D,E,直线BI交

12、DE于点G。求证:AGBG.20.(12分)设f(x)是定义在R上的以2为周期的函数,且是偶函数,在区间[2,3]上,f(x)=-2(x-3)2+4。矩形ABCD的两个顶点A,B在x轴上,C,D在函数y=f(x)(0≤x≤2)的图象上。求矩形ABCI面积的最大值。21.(12分)如图3所示,已知椭圆长轴端点A,B,弦EF与AB交于点D,O为椭圆中心,且

13、OD

14、=1,2DE+DF=0,。(1)求椭圆长轴长的取值范围;(2)若D为椭圆的焦点,求椭圆的方程。22.(14分)已知数列{xn}中,x1=a,an+1=.(1)设a=tanθ,若,求θ的取值范围;(2)定

15、义在(-1,1)内的函数f(x),对任意x,y∈(-

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