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1、第三节等比数列基础梳理1.等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示.2.等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{an}的第n项an,有公式an=a1qn-1,这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比.3.等比中项如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am·qn-m(n,m∈N*).(2)若{an}为等比数列，且k+l=m+n(k、l、m、n∈N*),则ak·al=am·an.(3)若{an},
2、{bn}（项数相同）是等比数列，则(bn≠0)仍是等比数列.5.等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn，当q=1时，Sn=na1;当q≠1时，Sn=a1+a1q+…+a1qn-1，即6.等比数列前n项和的性质等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列.题型一等比数列的基本运算【例1】设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，它的前n项和为40,前2n项和为3280,且前n项中数值最大项为27,求数列的第2n项.分析利用前n项和公式列出关于a1与q的方程组，求出a1与q即可，但是需注意的是应分q=1和q≠1两种情况讨
3、论.解若q=1，则na1=40,2na1=3280，矛盾.得1+qn=82,∴qn=81.③将③代入①，得q=1+2a1.④又∵q＞0,qn=81,∴q＞1,{an}为递增数列.∴an=a1qn-1=27.⑤由③、④、⑤得q=3,a1=1,n=4.∴a2n=a8=1×37=2187.学后反思在等比数列求基本量的运算中“知三求二”问题通常是利用通项公式与前n项和公式建立方程(组)，解之即可，同时利用前n项和公式时需对q进行讨论.解析:∵a9+a10=a,∴a9(1+q)=a,①又∵a19+a20=b,∴a19(1+q)=b,②由得则a99(1+q)=x,③由得答案:举一反三1.(2009·潍
4、坊模拟)在等比数列{}中,(a≠0),则=_____.题型二等比数列的判定【例2】已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).(1)求证：数列{an+1}是等比数列;(2)求通项公式an.分析利用等比数列的定义证明为非零常数即可.解(1)∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1)∴{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列.(2)由（1）知an+1=2×2n-1=2n,∴an=2n-1.学后反思等比数列的判定方法主要有：(1)定义法:(q是不为0的常数，n∈N*)；(2)通项公式法：an=cqn(c,q均是不为0的常数，n∈N*);(3)中项公式
5、法：a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2不为零，n∈N*);(4)前n项和公式法：是常数，且q≠0,q≠1).举一反三2.(2010·合肥质检)已知数列{}的前n项和为,数列{}是公比为2的等比数列.求证：数列{}成等比数列的充要条件是证明：∵数列{}是公比为2的等比数列,∴即∵,n=1,∴n=1,n≥2,n≥2显然，当n≥2时，①充分性:当时，,所以对n∈N*,都有,即数列{}是等比数列.②必要性:因为{}是等比数列，所以,即,解得题型三等比数列的性质【例3】(1)在等比数列{an}中，a1+a2=324,a3+a4=36,求a5+a6的值；(2)已知一个等比数列的前四项
6、之积为,第2、3项的和为,求这个等比数列的公比.分析(1)利用等比数列的性质求解.（2）注意4个数成等比数列的设法.解（1）由等比数列的性质,知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列，则(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6),∴a5+a6=4.(2)依题意，设这四个数为a,aq,aq2,aq3,则学后反思在等比数列的基本运算问题中，一般是建立a1、q满足的方程组，求解方程组，但如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题速度，要注意挖掘已知，注意“隐含条件”.举一反三3.(1)在等比数列{an}中，S4=1,S8=3,求a17+a18+a19+a20的值.(2)在等比
7、数列{an}中，已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.解析：（1）∵S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等比数列，而S4=1，S8-S4=2，∴a17+a18+a19+a20=S4×24=1×24=16.（２）∵a3a5=a24,∴a3a4a5=a34=8,∴a4=2.又∵a2a6=a3a5=a24,∴a2a3a4a5a6=32题型四等比数列的最值问题【例4】(14分)等比数列{a
