高等数学极限方法总结.doc

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1、一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；；；等等（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2．极限运算法则定理1已知，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）（2）（3）说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3．两个重要极限（1）（2）；说明：(1)不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们

2、的变形形式.（2）一定注意两个重要极限成立的条件。一定注意两个重要极限成立的条件。例如：，，；等等。4．洛比达法则定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：～～～～～～。说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价关系成立，例如：当时，～；～。定理4如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即=。5．洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大；（2）和都可导，且的导数不为0；（3）存在（或是无穷大）；则极限也一定存在

3、，且等于，即=。说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。6．连续性定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有。7．极限存在准则定理7（准则1）单调有界数列必有极限。定理8（准则2）(夹逼准则)已知为三个数列，且满足：（1）（2），则极限一定存在，且极限值也是a，即。二、求极限方法举例1．利用函

4、数的连续性（定理6）求极限例4解：因为是函数的一个连续点，所以原式=。1．利用两个重要极限求极限例5解：原式=。注：本题也可以用洛比达法则。例6解：原式=。例7解：原式=。注：两个重要的极限分别为limsinx12=1和lim(1+)x=e，对第一个而言是x→0x→∞xxX趋近0时候的sinx与x比值。第2个实际上如果x趋近无穷大和无穷小都有对有对应的形式。当底数是1的时候要特别注意可能是用第2个重要极限。2．利用定理2求极限例8解：原式=0（定理2的结果）。3．利用等价无穷小代换（定理4）求极限这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷

5、小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]设、且；则：与是等价无穷小的充分必要条件为：．常用等价无穷小：当变量时，．例1求．解，故，原式例2求．解,因此:原式．例3求．解，故:原式=．例4求．解,故:原式．例5试确定常数与，使得当时，与为等价无穷小．解而左边，故即．5.利用洛比达法则求极限利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者型等未定式类型.洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大

6、都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理：当时，函数及都趋于0；在点的某去心邻域内，﹑的导数都存在且的导数不等于0；存在，那么.[1]求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法.[3]例12（例4）解：原式=。（最后一步用到了重要极限）例13解：原式=。例14解：原式==。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）例15解：例18解：错误解法：原式=。正确

7、解法：应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例19解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：原式=（分子、分母同时除以x）=（利用定理1和定理2）注：使用罗比达法则必须满足使用条件，要注意分母不能为零，导数存在。罗比达法则分为三种情况（1）0比0和无穷比无穷时候直接分子分母求导；（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通