高等数学极限方法总结

《高等数学极限方法总结》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、摘要：数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法.关键词：高等数学、数列极限、定义、洛比达法则、英文题目LimitmethodssummarizeAbstract:Themethodofsequencelimithasbeenintheseriesamoreimportantproblems,thispapersummedupfromdifferentaspectsandafewofitslistingisalsogiven.Keywords:Hig

2、hermathematics,sequencelimit,definition,losthanamountingtolaw,一.引言高等数学第二章在整个高等数学的学习中都占有相当重要的地位，特别是极限，原因就是后续章节本质上都是极限。一个经典的形容就是假如高等数学是棵树木的话，那么极限就是它的根，函数就是它的皮。树没有根，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见极限的重要性。极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还

3、是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换,展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、14洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。二.研究问题及成果一、极限定义、运算法则和一些结果1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值

4、可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；；；等等（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2．极限运算法则定理1已知，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）（2）（3）说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。3．两个重要极限（1）14（2）；说明：(1)不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式.（2）一定注意两个重要极限成立的条件。一定注意两个重要极限成

5、立的条件。例如：，，；等等。4．洛比达法则定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：～～～～～～。说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价关系成立，例如：当时，～；～。定理4如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即=。5．洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和14满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大；（2）和都可导，且的导数不为0；（3）存在（或是无穷大）；

6、则极限也一定存在，且等于，即=。说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。6．连续性定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有。7．极限存在准则定理7（准则1）单调有界数列必有极限。定理8（准则2）已知为三个数列

7、，且满足：（1）（2），则极限一定存在，且极限值也是a，即。二、求极限方法举例141．利用函数的连续性（定理6）求极限例4解：因为是函数的一个连续点，所以原式=。2．利用两个重要极限求极限例5解：原式=。注：本题也可以用洛比达法则。例6解：原式=。例7解：原式=。注：两个重要的极限分别为limsinx12=1和lim(1+)x=e，对第一个而言是x→0x→∞xxX趋近0时候的sinx与x比值。第2个实际上如果x趋近无穷大和无穷小都有对有对应的形式。当底数是1的时候要特别注意可能是用第2个重要极限。141

8、．利用定理2求极限例8解：原式=0（定理2的结果）。2．利用等价无穷小代换（定理4）求极限这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]设、且；则：与是等价无穷小的充分必要条件为：．常用等价无穷小：当变量时，．例1求．解，故，原式例2求．解,因此:原式．例3