数学精讲大-连续三.doc

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1、GCT考点精讲班-数学大学数学-连续连续—内容综述1.基本概念（1）连续与连续点：设函数在及其附近有定义，若成立，则称函数在连续，称为函数的连续点．连续性是函数的一种点性质，也就是说函数在处是否连续与它在其他点是否连续没有关系．如对于函数因为，且，所以在处连续．由于在时极限不存在，所以该函数也只有这一个连续点．（2）单侧连续性：设函数在及其左侧附近有定义，若成立，则称函数在处左连续；设函数在及其右侧附近有定义，若成立，则称函数在处右连续．一般地用表示所有在区间内连续的函数．若在区间中的每一点都连续，在处右连续，在处左连续，则说在区间上连续．一般地用表示所有在

2、区间上连续的函数．关于函数在一点的连续与其左、右连续之间的关系，我们有：定理：数在处连续的充分必要条件是：在处既是左连续又是右连续．（3）间断点及其分类第一类间断点：若函数在点处的左右极限均存在，但不连续，则称为的第一类间断点．在第一类间断点中，当左右极限相等时，又称这样的间断点为可去型间断点．如就是函数的可去型间断点，而则是函数的可去型间断点．在第一类间断点中，当左右极限存在但不相等时，又称这样的间断点为跳跃型间断点．如是符号函数的跳跃型间断点，任何一个整数都是取整函数的跳跃型间断点．第二类间断点：若函数在点处的左右极限中至少有一个不存在时，则称为的第二类

3、间断点．例如就是函数，和的第二类间断点2．连续函数的运算（1）四则运算；（2）反函数的连续性；（3）复合函数的连续性3．初等函数的连续性：初等函数在其定义域区间上连续．4．闭区间上连续函数的性质（1）有界性：若函数在上连续，则其在上有界．（2）最大、最小值定理：若函数在上连续，则存在，使得对任意的都成立．（3）零点存在定理：设函数在上连续，且，则存在，使得．（4）介值定理：设函数在上连续，满足，则对任意的，都存在介于与之间的，使得．连续—典型例题例7-1．已知函数在上连续，求的值．解：．例7-2.设函数在内连续，则[]（A）．（B）．（C）．（D）．答（A）

4、分析:验证法.例7-3．研究下列函数的连续性，并说明间断点的类型（1）解：因为，所以是可去型间断点；（2），解：由于，所以从而是跳跃型间断点；例7-4．函数的可去间断点的个数是【】（A）个．（B）个．（C）个．（D）无穷多个．答案（C）分析:可去间断点只可能是,中的点.因为,且没定义,所以是可去间断点;因为,且没定义,所以是可去间断点.类似地可以判断也是可去型间断点.例7-5．已知，，证明：当为偶数时，至少有两个不同实根．证明：当为偶数时，因为，所以存在，使得．由于，从而存在至少有两个不同实根．例7-6．设，且，证明：存在，使得．证明：令，则，且，所以存在，

5、使得．注：条件可以减弱为：．例7-7．已知，且存在，证明在上有界．证明：令则，所以存在，使得，从而．