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1、第三讲连续与一致连续一、知识结构1、函数连续的概念和定义函数连续的概念:如果函数在区间上有定义，并且函数的图象是连续不断的，我们称函数在区间上连续.(1)函数在点连续的相关定义定义1设函数定义在内，如果，则我们称函数在点连续.记作.定义1′设函数定义在内，对，，当时，有,则我们称函数在点连续.定义2设函数定义在内，对，，当时，有,则我们称函数在点连续.记作.定义3设函数定义在内，对，，当时，有,则我们称函数在点左连续.记作.(2)函数在区间上连续定义1如果函数在区间内任意一点连续，则我们称函数在区间内连
2、续.定义1′固定,对，，当时()，有,则我们称函数在区间内连续.定义2如果函数在区间内任意一点连续，并且在点左连续,则我们称函数在区间连续.定义3如果函数在区间内任意一点连续，并且在点右连续,则我们称函数在区间连续.定义4如果函数在区间内任意一点连续，并且在点左连续、点右连续,则我们称函数在区间上连续.1、函数一致连续的概念和定义函数一致连续的概念:如果函数在区间上有定义，函数的图象是连续不断的，并且函数的图象没有铅直的渐进线，我们称函数在区间上一致连续.例如，函数在区间内连续，但不一致连续.定义1对,
3、，，当时()，有,则我们称函数在区间内一致连续.定义1′设函数在区间上有定义，是区间内的任意一点,对，，当时，有,则我们称函数在区间上一致连续.说明:对给定的,由于区间内的点对有无穷多个,所以对每一对均存在一个,进而有无穷多个,无穷多个中有最小的,我们称函数在区间上一致连续.无穷多个中没有最小的,我们称函数在区间上不一致连续.定理1如果函数在闭区间上连续，则函数在闭区间上一致连续.说明:如果函数在开区间内连续，则函数在开区间内不一定一致连续.1、函数的间断点（不连续点）定义1如果，我们称函数在点间断.(
4、1)第一类间断点定义2如果极限存在，但不等于，我们称点为函数的可去间断点.定义2如果极限与都存在但不相等，我们称点为函数的跳跃间断点.可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点.(2)第二类间断点非第一类间断点称为第二类间断点，即不存在，或不存在，或不存在，具体情况如下：①；②趋向于两个以上的数；③；④趋向于两个以上的数；⑤；⑥趋向于两个以上的数.例如，狄利克雷（Dirichlet）函数定义域上的任意一点为第二类间断点.因为,所以不存在.再例如,对函数,是函数的第二类间断点.因为不存在(不存在前面已证).
5、连续和一致连续的概念与定义可推广到多元函数上.二、解证题方法1、连续例1(天津大学2006年)证明:函数在处连续(用语言证明).证明因为,对,存在,当时,有,所以函数在处连续.例2(天津大学2005年)证明:函数在处连续(用语言证明).证明因为,,所以,对，，当时，有.又因,,所以.故函数在处连续.例3(复旦大学2002年)证明函数在区间上不一致连续.证明取,,,则.因为所以,存在,对所有,当时,有故函数在区间上不一致连续.证法2取,,,则.因为,而,所以函数在区间上不一致连续.例4(中北大学2005年
6、)证明函数在区间内不一致连续,在与上均一致连续.证明取,,,则.因为,而,所以函数在区间上不一致连续.由于函数在区间上连续,所以函数在区间上一致连续.由于函数在区间上连续,所以函数在区间()上一致连续.因为,对,当时,有.进而函数在区间()上一致连续.例5(北京工业大学2005年)设和为区间上的连续函数，试证明为区间上的连续函数.证明因为，所以只要证明为区间上的连续函数即可.对,由于和为区间上的连续函数,所以,对，，当时，有,.又因,所以为区间上的连续函数.例6(江苏大学2006年)设函数为上的单调增函
7、数,其值域为,证明在上连续.证明因为函数为上的单调增函数,所以函数在上任意一点的极限都存在.如果函数在上不连续,则函数在上存在间断点,如果,则.由函数在上的单调性知,函数无法取到上的值,这与函数的值域为矛盾.如果,则.由函数在上的单调性知,函数无法取到上的值,这与函数的值域为矛盾.如果，则不等式及至少有一个成立,不妨设.由函数在上的单调性知,函数无法取到上的值,这与函数的值域为矛盾.故函数在上连续.例7(西安交通大学2001年)证明:满足函数方程的惟一不恒为零的连续函数是指数函数,其中.分析:要说明函数
8、是指数函数,应证明①;②,其中是实数;③.证明首先证明①.因为,又因为(因为在上不恒为零,所以存在,使).所以,进而.其次证明,其中是实数.a)当时,由得得.b)当,为正整数时,.c)当,为正整数时,,又因为,所以.进而.a)当,为正整数时,,b)当为无理数时,有有理数列,使得.因函数连续,所以.最后证明.因为,所以.例8(北京交通大学2006年、江苏大学2006年)设函数是区间上的单调函数，定义.证明函数在区间上的每一点都右连续.分析：不
