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1、第六章数值逼近6.1关于多项式的MATLAB命令一、多项式表达方式的约定多项式用行向量表示用比较习惯的方式显示多项式：pp=poly2str(p,'x')【例】多项式可表示为p=[2145]pp=poly2str(p,'x')二、多项式运算函数r=roots(p)：求多项式的零点p=poly(r):以r为零点的多项式p=poly(A):A的特征多项式PA=polyval(p,S):按数组运算规则，计算多项式的值其中S，PA为矩阵PM=polyvalm(p,S):按矩阵运算规则，计算多项式的值,其中S，PM为矩阵p=conv(p1,p2)：多项式的乘积[q,r]=deconv(p1,
2、p2)：多项式的除法，p1/p2p1(x)=p2(x)q(x)+r(x)【例】由给定根向量求多项式系数向量。R=[-0.5,-0.3+0.4*i,-0.3-0.4*i];P=poly(R)PPR=poly2str(P,'x')P=1.00001.10000.55000.1250PPR=x^3+1.1x^2+0.55x+0.125【例】求多项式的零点。r=roots([1-615-2015-61])r=1.0042+0.0025i1.0042-0.0025i1.0000+0.0049i1.0000-0.0049i0.9958+0.0024i0.9958-0.0024i注：尽管利用MA
3、TLAB使得从系数转换到零点或从零点转换到系数都非常容易，但是使用时一定要注意计算的精度。如果存在重根，这种转换可能会降低精度。对于数值计算，计算重根是最困难的问题之一。【例】求3阶方阵A的特征多项式。A=[111213;141516;171819];PA=poly(A)PPA=poly2str(PA,'x')PA=1.0000-45.0000-18.0000-0.0000PPA=x^3-45x^2-18x-2.8387e-015【例】求的“商”及“余”多项式。p1=conv([1,0,2],conv([1,4],[1,1]));p2=[1011];[q,r]=deconv(p1,
4、p2);cq='商多项式为';cr='余多项式为';disp([cq,poly2str(q,'x')])disp([cr,poly2str(r,'x')])商多项式为x+5余多项式为5x^2+4x+3【例】两种多项式求值指令的差别。S=pascal(4)P=poly(S);PP=poly2str(P,'s')PA=polyval(P,S)PM=polyvalm(P,S)S=1111123413610141020PP=s^4-29s^3+72s^2-29s+1PM=1.0e-010*0.00160.00330.00900.02050.00450.01010.02860.06970.0
5、0950.02100.06530.15960.01630.03870.12260.3019PA=1.0e+004*0.00160.00160.00160.00160.00160.0015-0.0140-0.05630.0016-0.0140-0.2549-1.20890.0016-0.0563-1.2089-4.3779可以用命令polyval或polyvalm计算多项式的值p=[2145];xi=2.5;yi=polyval(p,xi)yi=52.5000yi=polyvalm(p,xi)yi=52.5000【例】求多项式的积分poly_itg.mfunctionpy=poly_
6、itg(p)n=length(p)py=[p.*[n:-1:1].^(-1),0]【例】将Chebyshev多项式展开为幂级数形式Cheby_pw.mfunctionpn=Cheby_pw(n)pbb=[1];ifn==0,pn=pbb;break;endpb=[10];ifn==1,pn=pb;break;endfori=2:npn=2*[pb,0]-[0,0,pbb];pbb=pb;pb=pn;end6.2Lageange插值多项式求由n+1维向量x,y给定数据的n次插值多项式pp=polyfit(x,y,n)【例】观察Lagrange插值基函数的形状x=[12345678];
7、y=[01000000];p=polyfit(x,y,7);x0=1:0.2:8;y0=polyval(p,x0);plot(x,y,'ro',x0,y0)Lagr1.mfunctiony=lagr1(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)
