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1、第三章线性代数3.1常用矩阵函数norm：矩阵或向量范数Forvectors...norm(V,P)=sum(abs(V).^P)^(1/P).norm(V)=norm(V,2).norm(V,inf)=max(abs(V)).norm(V,-inf)=min(abs(V)).例x=[12345];x=[120300405];x=[100002000300405];[norm(x,1),norm(x,2),norm(x,3),norm(x,inf)]例:不同范数意义下的单位圆运行以下Matlab程序，文件名为：normpolt.m描绘norm(x,1)=1;norm(x
2、,2)=1;norm(x,inf)=1的图形Formatrices...norm(X)isthelargestsingularvalueofX,max(svd(X)).norm(X,2)isthesameasnorm(X).norm(X,1)isthe1-normofX,thelargestcolumnsum,=max(sum(abs(X))).norm(X,inf)istheinfinitynormofX,thelargestrowsum,=max(sum(abs(X'))).norm(X,'fro')istheFrobeniusnorm,sqrt(sum(diag(
3、X'*X))).norm(X,P)isavailableformatrixXonlyifPis1,2,infor'fro'.例x=[120300;400506;708009];[norm(x,1),norm(x,2),norm(x,inf),norm(x,'fro')]dot(x,y)向量的内积det(A)方阵的行列式；rank(A)矩阵的秩；trace(A)矩阵的迹；rref(A)初等变换化矩阵A为阶梯矩阵inv(A)矩阵的逆；即A-1pinv(A)矩阵的广义逆A+null(A)零空间的基阵roth(A)值空间的基阵orth(A)将A标准正交化cond(A,flag)
4、矩阵的条件数,flag=2,1,inf,'fro';例：分别求x=[1378-2],y=[393-39]的长度与它们的夹角。x=[1378-2];y=[393-39];xx=norm(x,2);yy=norm(y,2);theta=acos(dot(x,y)/(xx*yy));s=[xx,yy,theta]例：给定一组线性无关的向量，将其标准正交化a=magic(5);b=orth(a)d=eig(A)：方阵的特征值；[V,D]=eig(A):A*V=V*D[V,J]=jordan(A):A*V=V*Jc=condeig(A)：向量c中包含矩阵A关于各特征值的条件数[V
5、,D,c]=condeig(A)：例:A=[100;120;123],d=eig(A),[V,D]=eig(A),C=condeig(A),[V,D,C]=condeig(A),例：观察7阶随机矩阵特征值的分布a=rands(7,7)%产生7阶随机矩阵e=eig(a)title('特征值的分布');plot(real(e),imag(e),'o')xlabel('实轴');ylabel('虚轴');注：本例验证了如下定理：实方阵的特征值或为实数或呈共轭对出现。例：观察正交矩阵的特征值分布a=rands(7,7);b=orth(a);%构造一个正交矩阵theta=0:0.
6、01:2*pi;e=eig(b);plot(real(e),imag(e),'r*',cos(theta),sin(theta));axisequaltitle('正交矩阵特征值的分布');xlabel('实轴');ylabel('虚轴');注：本例验证了正交矩阵的特征值分布在复平面的单位圆上。例:矩阵范数与谱半径之间的关系观察所有特征值的分布是否在半径为
7、
8、A
9、
10、的复单位圆内。a=rands(7,7)[phro,norm]=normspet(a,p)p=1,2,inf3.2矩阵的运算一、矩阵的转置、乘积，逆A=[100;120;123],A_trans=A‘H=[12
11、3;210;123],K=[123;210;231]HK=H*KH_inv=inv(H),K_inv=K^-1二、矩阵的左除和右除左除“”：求矩阵方程AX=B的解；（A、B的行要保持一致）解为X=AB；当A为方阵且可逆时有X=AB=inv(A)*B；右除“/”：求矩阵方程XA=B的解（A、B的列要保持一致）解为X=B/A，当A为方阵且可逆时有X=B/A=B*inv(A)【例】“求逆”法和“左除”法解恰定方程的性能对比（1）构造一个条件数很大的高阶恰定方程randn('state',0);A=gallery('randsvd',100
