问题把椅子于地面上时,常常是只有三只脚着地而放不.doc

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1、问题：把椅子置于地面上时，常常是只有三只脚着地而放不稳，通常需要调整几次方可将方桌放稳,试用数学语言对此问题给以表述，并用数学工具给予说明：方桌能否在地面上放稳?若能，请给予证明并给出做法，否则说明理由.问题分析所谓方桌能否在地面放稳是指方桌的四个脚能否同时着地，而四个桌脚是否同时着地是指四个桌脚与地面的距离是否同时为零.于是我们可以转而研究四个桌脚与地面的距离（函数）是否同时等于零.这个距离是变化的，于是可视为函数，那么作为函数，它随哪个量的改变而改变？构造这个距离函数成为主要建模目的.为了构造函数和设定相关参数，让我们实际操作一下，从

2、中搜集信息，弄清其特征.要想四个桌脚同时着地，通常有两种方法，其一是将方桌搬离原地，换个位置试验，另一个做法是原地旋转试验.前法需要研究的范围可能要很大，这里采取第二种做法.通过实地操作，易得出结论：只要地面相对平坦，没有地面大起大落情况，那么随着旋转角度的不同，三只脚同时落地后，第四只脚与地面距离也不同（不仅如此，旋转中总有两个脚同时着地，另两个脚不稳定）.也就是说，这个距离函数与旋转角度有关，是旋转角度的函数.于是一个确定的函数关系找到了，不仅如此，我们的问题也顺其自然地转化为：是否存在一角度，使得四个距离函数同时为零?综上分析，问题

3、可以归结为证明函数的零点的存在性，遂决定试用函数模型予以处理.模型假设1．桌子的四条腿同长(这个假设显然合理，而且避免了问题与桌腿长度有关使问题变复杂).2．将方桌的桌脚与地面接触处看成是一个几何点，四脚连线为正方形(这是因为问题本身考虑的是能否四脚着地而与方桌样式，桌腿粗细等无关).3．地面相对平坦，即在旋转所在地面范围内，方桌在任何位置至少有三只脚同时着地(自然这是符合实际的合理假设).4．地面高度连续变化，可视地面为数学上的连续曲面.模型构成xBADCOD´C´B´A´q用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来。椅子位置利用正

4、方形(椅脚连线)的对称性用(对角线与轴的夹角)表示椅子位置四只脚着地椅脚与地面距离为零，距离是的函数四个距离(四只脚)两个距离A,C两脚与地面距离之和~B,D两脚与地面距离之和~正方形ABCD绕O点旋转用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来地面为连续曲面→,是连续函数椅子在任意位置至少三只脚着地→对任意,,至少一个为0最后归结为如下数学问题：已知,)是连续函数，对任意，，且，.证明：存在，使.模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法.将椅子旋转，对角线AC和BD互换。由，，知,.令,则和.由的连续性知为连续函数,据连续函数的基本性质,

5、必存在,使,即.因为,所以.评注和思考建模的关键~和的确定.注意到假设条件的本质与非本质性，模型假设中“四脚连线呈正方形”不是本质的，大家可以考虑四脚呈长方形的情况.