高中数学竞赛标准教材(第十一章圆锥曲线)

高中数学竞赛标准教材(第十一章圆锥曲线)

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1、高中数学竞赛标准教材(第十一章圆锥曲线)第十一圆锥曲线一、基础知识1.椭圆的定义,第一定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间的距离)的点的轨迹,即

2、PF1

3、+

4、PF2

5、=2a(2a>

6、F1F2

7、=2)第二定义:平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹(其中定点不在定直线上),即(0<e<1)第三定义:在直角坐标平面内给定两圆1:x2+2=a2,2:x2+2=b2,a,b∈R+且a≠b。从原点出发的射线交圆1于P,交圆2于Q,过P引轴的平

8、行线,过Q引x轴的平行线,两条线的交点的轨迹即为椭圆。2.椭圆的方程,如果以椭圆的中心为原点,焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系,由定义可求得它的标准方程,若焦点在x轴上,列标准方程为(a>b>0),参数方程为(为参数)。若焦点在轴上,列标准方程为(a>b>0)。3.椭圆中的相关概念,对于中心在原点,焦点在x轴上的椭圆,a称半长轴长,b称半短轴长,称为半焦距,长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a,0),(0,±b),(±,0);与左焦点对应的准线(即第二定义中的定直线)为,与右焦点对应的准线为;定

9、义中的比e称为离心率,且,由2+b2=a2知0<e<1椭圆有两条对称轴,分别是长轴、短轴。4.椭圆的焦半径公式:对于椭圆1(a>b>0),F1(-,0),F2(,0)是它的两焦点。若P(x,)是椭圆上的任意一点,则

10、PF1

11、=a+ex,

12、PF2

13、=a-ex.几个常用结论:1)过椭圆上一点P(x0,0)的切线方程为;2)斜率为的切线方程为;3)过焦点F2(,0)倾斜角为θ的弦的长为。6.双曲线的定义,第一定义:满足

14、

15、PF1

16、-

17、PF2

18、

19、=2a(2a<2=

20、F1F2

21、,a>0)的点P的轨迹;第

22、二定义:到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。7.双曲线的方程:中心在原点,焦点在x轴上的双曲线方程为,参数方程为(为参数)。焦点在轴上的双曲线的标准方程为。8.双曲线的相关概念,中心在原点,焦点在x轴上的双曲线(a,b>0),a称半实轴长,b称为半虚轴长,为半焦距,实轴的两个端点为(-a,0),(a,0)左、右焦点为F1(-,0),F2(,0),对应的左、右准线方程分别为离心率,由a2+b2=2知e>1。两条渐近线方程为,双曲线与有相同的渐近线,它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b,则称为

23、等轴双曲线。9.双曲线的常用结论,1)焦半径公式,对于双曲线,F1(-,0),F2(,0)是它的两个焦点。设P(x,)是双曲线上的任一点,若P在右支上,则

24、PF1

25、=ex+a,

26、PF2

27、=ex-a;若P(x,)在左支上,则

28、PF1

29、=-ex-a,

30、PF2

31、=-ex+a2)过焦点的倾斜角为θ的弦长是。10.抛物线:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫焦点,直线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴,x轴与l相交于,以线段F的垂直平分线为轴,建立直角坐标系,设

32、F

33、=p,则焦点

34、F坐标为,准线方程为,标准方程为2=2px(p>0),离心率e=111.抛物线常用结论:若P(x0,0)为抛物线上任一点,1)焦半径

35、PF

36、=;2)过点P的切线方程为0=p(x+x0);3)过焦点倾斜角为θ的弦长为。12.极坐标系,在平面内取一个定点为极点记为,从出发的射线为极轴记为x轴,这样就建立了极坐标系,对于平面内任意一点P,记

37、P

38、=ρ,∠xP=θ,则由(ρ,θ)唯一确定点P的位置,(ρ,θ)称为极坐标。13.圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P,若0<e<1,则点P的轨迹

39、为椭圆;若e>1,则点P的轨迹为双曲线的一支;若e=1,则点P的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为。二、方法与例题1.与定义有关的问题。例1已知定点A(2,1),F是椭圆的左焦点,点P为椭圆上的动点,当3

40、PA

41、+

42、PF

43、取最小值时,求点P的坐标。[解]见图11-1,由题设a=,b=4,==3,椭圆左准线的方程为,又因为,所以点A在椭圆内部,又点F坐标为(-3,0),过P作PQ垂直于左准线,垂足为Q。由定义知,则

44、PF

45、=

46、PQ

47、。所以3

48、PA

49、+

50、PF

51、=3(

52、PA

53、+

54、PF

55、)=3(

56、PA

57、+

58、PQ

59、)≥3

60、

61、A

62、(A左准线于)。所以当且仅当P为A与椭圆的交点时,3

63、PA

64、+

65、PF

66、取最小值,把=1代入椭圆方程得,又x<0,所以点P坐标为例2已知P,为双曲线:右支上两点,延长线交右准线于,PF1延长线交双曲线于Q,(F1为右焦点)。求证:∠F1=∠F1Q[证明

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