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1、高中数学竞赛标准教材(第十一章圆锥曲线)第十一圆锥曲线一、基础知识1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即
2、PF1
3、+
4、PF2
5、=2a(2a>
6、F1F2
7、=2)第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即(0<e<1)第三定义：在直角坐标平面内给定两圆1:x2+2=a2,2:x2+2=b2,a,b∈R+且a≠b。从原点出发的射线交圆1于P，交圆2于Q，过P引轴的平
8、行线，过Q引x轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x轴上，列标准方程为(a>b>0)，参数方程为（为参数）。若焦点在轴上，列标准方程为(a>b>0)。3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，a称半长轴长，b称半短轴长，称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a,0),(0,±b),(±,0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为，与右焦点对应的准线为；定
9、义中的比e称为离心率，且，由2+b2=a2知0<e<1椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆1(a>b>0),F1(-,0),F2(,0)是它的两焦点。若P(x,)是椭圆上的任意一点，则
10、PF1
11、=a+ex,
12、PF2
13、=a-ex．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0,0)的切线方程为；2）斜率为的切线方程为；3）过焦点F2(,0)倾斜角为θ的弦的长为。6．双曲线的定义，第一定义：满足
14、
15、PF1
16、-
17、PF2
18、
19、=2a(2a<2=
20、F1F2
21、,a>0)的点P的轨迹；第
22、二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为，参数方程为（为参数）。焦点在轴上的双曲线的标准方程为。8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(a,b>0),a称半实轴长，b称为半虚轴长，为半焦距，实轴的两个端点为(-a,0),(a,0)左、右焦点为F1(-,0),F2(,0)，对应的左、右准线方程分别为离心率，由a2+b2=2知e>1。两条渐近线方程为，双曲线与有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为
23、等轴双曲线。9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线，F1（-,0）,F2(,0)是它的两个焦点。设P(x,)是双曲线上的任一点，若P在右支上，则
24、PF1
25、=ex+a,
26、PF2
27、=ex-a；若P（x,）在左支上，则
28、PF1
29、=-ex-a，
30、PF2
31、=-ex+a2)过焦点的倾斜角为θ的弦长是。10．抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于，以线段F的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，设
32、F
33、=p，则焦点
34、F坐标为，准线方程为，标准方程为2=2px(p>0)，离心率e=111．抛物线常用结论：若P(x0,0)为抛物线上任一点，1）焦半径
35、PF
36、=；2）过点P的切线方程为0=p(x+x0)；3）过焦点倾斜角为θ的弦长为。12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为，从出发的射线为极轴记为x轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记
37、P
38、=ρ,∠xP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P的位置，（ρ，θ）称为极坐标。13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若0<e<1，则点P的轨迹
39、为椭圆；若e>1，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为。二、方法与例题1．与定义有关的问题。例1已知定点A（2，1），F是椭圆的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3
40、PA
41、+
42、PF
43、取最小值时，求点P的坐标。[解]见图11-1，由题设a=,b=4,==3,椭圆左准线的方程为，又因为，所以点A在椭圆内部，又点F坐标为（-3，0），过P作PQ垂直于左准线，垂足为Q。由定义知，则
44、PF
45、=
46、PQ
47、。所以3
48、PA
49、+
50、PF
51、=3(
52、PA
53、+
54、PF
55、)=3(
56、PA
57、+
58、PQ
59、)≥3
60、
61、A
62、(A左准线于)。所以当且仅当P为A与椭圆的交点时，3
63、PA
64、+
65、PF
66、取最小值，把=1代入椭圆方程得，又x<0，所以点P坐标为例2已知P，为双曲线：右支上两点，延长线交右准线于，PF1延长线交双曲线于Q，（F1为右焦点）。求证：∠F1=∠F1Q[证明
