陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第三章 推理与证明 点拨“反证法”拓展资料素材 北师大版选修1-2.doc

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1、点拨“反证法”　　反证法是一种重要的间接证明方法，下面加以系统归纳，供参考．　　1．宜用反证法证明的题型　　①易导出与已知矛盾的命题；②否定性命题；③惟一性命题；④至少至多型命题；⑤一些基本定理；⑥必然性命题等．　　2．步骤　　①假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立（反设）；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾（归谬）；③由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论成立（结论）．3．典例分析　　例　求证：a、b、c为正实数的充要条件是，且和．　　分析：由a、b、c是正实数，显然易得，，．即“必要性”的证明用直接证法易于完成，并不需要用反证法．证明“充分性”时，要综合三个不等

2、式推出a、b、c是正实数，有些难度，于是，试试反证法．　　证明：（1）证必要性．（略）　　（2）证充分性．假设a、b、c不全为正实数（原结论是a、b、c都是正实数），由于，则它们只能是二负一正．　　不妨设且且，　　又由于，　　∵，∴．①　　又∵，∴．②　　而，　　∴，与的假设矛盾．　　∴假设不成立，原结论成立，即a、b、c均为正实数．　　说明：如果从①处开始，如下进行推理：　　∵，即，又，∴．　　则，与①式矛盾．2这样，矛盾的焦点就发生在两部分推理的结论上了，即自相矛盾；还可以让矛盾的焦点发生在已知条件上，从②处开始，于是，与已知矛盾，这个途径最简捷．评注：反证法矛盾的焦点，可

3、以是和“已知条件”或“定义”、“公理”、“定理”、“反面假设”矛盾，也可以自相矛盾（即两部分推理的结果）．其本质是，先利用的和剩余者之间的矛盾．究竟先利用哪些好，应根据题目的具体情况决定．顺其自然，因势利导，不必拘泥于一格．2