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《吴堡县吴堡中学高中数学第三章推理与证明剖析演绎推理证明的几种常见错误拓展资料》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、剖析演绎推理证明的几种常见错误1.偷换论题例1求证四边形的内角和等于360°o证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，冇ZA+ZB+ZC+ZD=90°+90°+90°+90°=360°,所以，四边形的内角和等于360°o剖析：上述推理过程是错误的。犯了偷换论题的错误。在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形。正证：对于任意四边形ABCD,连结对角线AC,则得ABC和4CD4。因为三角形内角和等于180°,.•・ZCAB+ZABC+ZBCA=180°,ZACD+ZCDA+ADAC=180°,ZCAB+ZABC+乙BCA+ZACD+ZCDA+ZD
2、AC=360°,又ZCAB+ZDAC=ZDAB,ZBCA+ZACD=ZBCD,:.ZABC+乙BCD+ZCDA+乙DAB=360°,•••四边形的内角和等于360°o2.虚假论据例2已知血和侖是无理数，试证V2+V3也是无理数。错证：依题设血和巧是无理数，而无理数与无理数的和是无理数，所以V2+V3也是无理数。剖析：上述推理过程是错误的。犯了虚假论据的错误。使用的论据是：“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数。因此，原题的真假性仍无法断定。正证：假设V2+V3不是无理数，那么它就是冇理数，于是，存在互质的正整数m
3、,n,使得V2+V3=-,从而有加=(©+巧加，n因此，m2=(5+2V6>2,即m2-5n2=2^6n2,.•・(m2-5M2)2=24n4,即7/74+n4一10m2n2=0,•••(7??2-n2)2=8m2n2,?7-rT2mn=±V2o因为m,n为互质的正整数,7272-n22mn为有理数,而血为无理数,7=±血矛盾,故假设不成立,2mn/.V2+V3也是无理数。1.循环论证例3在RtABC中，ZC=90°求证：a2+/?2=c错证：因为d=csinA,b=ccosA,?.a2+/?2=c2sin2A+c2cos2A=c2(sin24+co
4、s'A)=c2剖析：上述推理过程是错误的。犯了循环论证的错误。木题的论证就是人们熟知的勾股定理。上述证明中川了"sin2A+cos2A=1”这个公式，按照现行中学教材系统，这个公式是由勾股定理推出來的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据，犯了循坏论证的错误。正证：分别以ABC的三边AC.AB.BC为边向外作正方形ACHK、ADEB、BFGC0连结BK、CD,作CX丄DE。显然，以A为旋转屮心，将MCD逆时针旋转90°,则MCD与AAKB重合，于是ACD^AKB.因为正方形ACHK与AABK同底等高，口矩形ADLM^jAADC同底等高，SAC
5、HK~SEM，即沪=c-AM0同理，SefgC~SMLEB，即/=cMB0:.a2+h2=c-AM+c-MB=c(AM+MB)=c2,1.不能推出例4设◎、0、/g(0,—),且tan(7=—,tan>0=—,tany=—o2258TT求证：a+S+y=—c4111111■错证：因为tang+0+沪258?58】,1-tan6rtan/?-tan«tan/-tan/?tany】_11_11_1I_2*5~5,8~5,8.•.Q+0+"兰4剖析：上述推理过程是错课的。犯了不能推出的错谋。因为tan(6Z+/?+/)=1只能推出TTTT^+/?+Z=/77r
6、+-,(72GZ)o至于关系式Q+0+y二一是否唯一地成立，却无法断定。因此，只有进一•步推岀44TT3/T0<£卩畀<—、即0+卩+丫<「原题才能得证。44TT正证：因为函数『=tanx在区间(0,—)±是增函数，乂Q、0、Ve(0,—),_&tana=—<1,tanB=—<1,tan/=—<1,22580<<—,Ov0v—0
7、/?tan/〔111111.•.cr+/?+/=-4我们需要不断的学习，丰富我们的知识面，学到老，是我们良好的生活态度!
