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1、第七章线性变换基础训练和答案零.判断下列变换是否为线性变换.1.,A.2.,A,对任意的.3.,对任意的,A其中A是一个固定的2阶矩阵.一.对下列的线性空间和线性变换,求线性变换A在给定基下的矩阵,并判断它们是否可逆.1.的一组基为=(1.0.0),=(0,1,0),=(0,0,1).对任意的线性变换为A.2.的一组基为,线性变换为求导运算D.对任意的,D.3.的一组基为,,对任意的,A.二.对上题中的线性变换求它们的核和值域的维数和一组基.三.求上题中每一个线性变换的特征值和特征向量,并判断它们是否可以对角化.若可以对角化,求线性空间的一组基,
2、使得该变换在此基下的矩阵为对角形.四.判断1.设V是数域P上的n维线性空间,A,若线性无关,则A,A,…,A也线性无关.2.若A,A,…,A线性无关,则也线性无关.3.若一个线性变换有一个特征值为零,则该线性变换不可逆.4.一个线性变换的属于不同特征值的两个特征向量必线性无关.5.一个线性变换的特征值子空间一定是该线性变换的不变子空间.6.若线性变换可逆,则它可以对角化.7.若一个线性变换可以对角化,则它必可逆.8.可逆线性变换的特征值均非零.9.一个线性变换可逆的充要条件是它在这个线性空间任何基下的矩阵的行列式均非零.10.n维线性空间上的线性
3、变换A可以对角化的充要条件是A有n个互不相同的特征值.11.n维线性空间上的线性变换A可以对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.12..n维线性空间V上的线性变换A可以对角化的充要条件是V有一组以A的特征向量作成的基..13.若n阶矩阵A与B相似,则它们有相同的特征值.14.若n阶矩阵A与B有相同的特征值,则它们相似.15.若n阶矩阵A与B相似,则它们的每一个特征值都有有相同的特征向量.16.如果为A的特征值，则也为的特征值.17.设矩阵A可逆,且为A的特征值,则也是A的特征值.18.设A是n阶矩阵,满足,则A必可以对角化.19.设A,V
4、是数域P上的n维线性空间,是KerA的基,是ImA的基,则,是V的基.20.设A,V是数域P上的n维线性空间,是KerA的基,是ImA的基,则r+s=n.21.设A,V是数域P上的n维线性空间,,则，A，...,An-1线性无关.22.的最小多项式的.23.的最小多项式是.24.若设A是n阶矩阵,满足,，则.五.填空1.设A,A在基下的矩阵为,则A在基下的矩阵为.2.已知A在V的一组基下的矩阵为,A的特征值为,则=;=.3.设A,B是线性空间V上的线性变换在两组不同基下的矩阵,则.4.n阶矩阵A可以对角化的充要条件是.5.线性变换A可以对角化的充
5、要条件是.6.设为3阶方阵，其特征值为3，-1，2，则.7.满足，则的特征值只能是______________________.8.设阶矩阵的元素全为，则的个特征值是.9.设矩阵是阶零矩阵，则的个特征值是.10.如果为A的特征值，则为的特征值.11.设A,B均为n阶矩阵,若存在n阶矩阵P使得成立,则A与B相似.12.设A,B均为n阶矩阵,若存在n阶矩阵P使得成立,则A与B合同.13.设是的任意向量，映射(是,不是)上的线性变换.14.若线性变换A关于基的矩阵为，那么线性变换A关于基的矩阵为.15.已知线性变换A的全部的特征值为,B=5A2+3A+
6、2E, 则B的全部的特征值为 ．16.设和是n维线性空间的两组基,A在下的矩阵为A,()=()P,则A在下的矩阵为B=.17.设V是数域P上的n维线性空间,AÎL(V),l是A的一个特征值,请写出线性变换A的5个不变子空间.18.设A,V是数域P上的n维线性空间,,且，A，...,An-1线性无关，则A在此基下的矩阵是.A在基An-1，An-2，...,下的矩阵是..六.选择题1.设V是数域P上的n维线性空间,AÎL(V),l1¹l2都是A的特征值,则是V的子空间,是V的A-子空间.A.{0}B.VC.KerAD.ImAE.F.G..
7、H.J.+K.AA2.设V是数域P上的n维线性空间,AÎL(V),则.A.+=VB.dim+dim=dimVC.kerAImA={0}D.七.证明题1.若A是一个n阶矩阵，且A2＝A，则A的特征值只能是0和1.(若A是数域P上的n维线性空间V上的线性变换,满足A2＝A，则A的特征值只能是0和1)2.设V是数域P上的n维线性空间,AÎL(V),l是A的特征值,证明是A-子空间.3.设V是数域P上的n维线性空间,AÎL(V),若A,A,…,A线性无关,证明也线性无关.4.若A是数域P上的n维线性空间V上的线性变换,满足A2＝A，证明kerAImA={
8、0}.5.若AB=BA,证明AV和kerA都是B—子空间.第七章线性变换基础训练答案一.对下列的线性空间和线性变换,求线性变换A在给定基
