线性方程组J-迭代,GS-迭代,SOR-迭代,SSOR-迭代方法.doc

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1、西京学院数学软件实验任务书课程名称数学软件实验班级数0901学号0912020119姓名王震实验课题雅克比迭代、高斯—赛德尔迭代、超松弛迭代实验目的熟悉雅克比迭代、高斯—赛德尔迭代、超松弛迭代实验要求运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成实验内容雅克比迭代法高斯—赛德尔迭代法、超松弛迭代法成绩教师【实验课题】雅克比迭代、高斯—赛德尔迭代、超松弛迭代【实验目的】学习和掌握线性代数方程组的雅克比迭代、高斯—赛德尔迭代、超松弛迭代法，并且能够熟练运用这些迭代法对线性方程

2、组进行求解。【实验内容】1、问题重述：对于线性方程组，即：（1），其中，如何运用雅克比迭代、高斯—赛德尔迭代、超松弛迭代法对线性方程组进行求解。2、方法原理：2.1雅克比迭代迭代思想：首先通过构造形如的等式，然后给定一个初值，再通过进行迭代。step1：对（1）相应第行中的用其它元素表示为：即：Step2：进行迭代，，取它的判断条件为小于一个确定的误差值，跳出循环。其中，为循环次数，则为所求的近视解。（参考程序）2.2、高斯—赛德尔迭代迭代思想：以雅克比迭代法为基础，假定每一次迭代得到的数据都优越于，即中的每一个分量

3、都优越于中对应的分量。由于在求解第个分量的过程中，前个分量已经求出，所以可以直接调用所求出来的前个分量。考虑雅克比迭代：，即：所以，当可逆时，由于在求解第个分量的过程中，前个分量已经求出，将上式改写为：即：所以，设，，上式改写为：，迭代算法：得出计算步骤：，由于再代入数据时尽可能采用最新数值，因此，高斯—赛德尔迭代法的收敛速度大于雅克比迭代法。2.3、逐次超松弛迭代法（SOR）逐次超松弛迭代法是对高斯—赛德尔迭代的一种改进，在高斯—赛德尔迭代的基础上加入松弛因子，使得与的误差由控制。由高斯—赛德尔迭代公式：得出SOR

4、迭代算法：，其中，为松弛因子。迭代的控制条件为：，得出SOR的计算公式为：，则存在，令，则，2.4、对称超松弛迭代法对称超松弛迭代法是对逐次超松弛迭代法的改进，在逐次超松弛迭代法的基础上，首先对线性方程组按照顺序方式依次求解，然后在此基础上对线性方程组逆序求解，得出SSOR迭代法。求解步骤：Step1顺序求解得出：Step2逆序求解由得出得出SSOR公式：【实验总结】由以上实验得出SSOR在求解线性方程时最优。当时，逐次超松弛迭代法（SOR）等价于高斯赛德尔迭代法。（参考程序）【程序】%%%%%%%%%%%%%%%%

5、%%%%%%程序%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%functionmaintest1(A,b)N=input('请输入最大迭代次数N（足够大）：');esp=input('请输入近视解的误差限：');X0=input('请输入初始值：');ifany(diag(A))==0error('系数矩阵错误，迭代终止！')endD=diag(diag(A));U=-triu(A);L=-tril(A);%%%%%%%%%%%%%%%jacobi%%%%%%fJ=inv(D)*b;BJ

6、=inv(D)*(L+U);PJ=max(abs(eig(BJ)));fprintf('用雅克比求解的谱半径为：%2d',PJ)%%%%%%%%%%%%%%%GS%%%%%%fG=inv(D-L)*b;BG=inv(D-L)*U;PG=max(abs(eig(BG)));fprintf('用GS求解的谱半径为：%2d',PG)%%%%%%%%%%%%%SOR%%%%%%%%%%omega=1;fS=omega*inv(D-omega*L)*b;BS=inv(D-omega*L)*((1-omega)*D+om

7、ega*U);PS=max(abs(eig(BS)));fprintf('用SOR求解的谱半径为：%2d',PS)%%%%%%%%%%%%SSOR%%%%%%%%%%%%%%%Lw=inv(D-omega*L)*((1-omega)*D+omega*U);Uw=inv(D-omega*U)*((1-omega)*D+omega*L);Sw=Uw*Lw;fw=omega*(2-omega)*inv(D-omega*inv(D)*U)*inv(D-omega*inv(D)*L)*inv(D)*b;PSS=max(ab

8、s(eig(Sw)));fprintf('用SSOR求解的谱半径为：%2d',PSS)%%%%%%%%%%%%%%%Jacobi%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fprintf('Jacobi迭代法')t=1;Y0=X0;Y1=BJ*Y0+fJ;fprintf('第%2d次迭代得:',t)disp(Y