2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷.doc

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1、2015年全国数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．）1．已知点P(4，1)在函数f(x)＝loga(x－b)(b＞0)的图象上，则ab的最大值是．解：由题意知，loga(4－b)＝1，即a＋b＝4，且a＞0，a≠1，b＞0，从而ab≤＝4，当a＝b＝2时，ab的最大值是4．2．函数f(x)＝sin(2x－)在x＝处的值是．解：2x－＝－＝＝＝2π＋，所以f()＝sin＝－．3．若不等式

2、ax＋1

3、≤3的解集为{x

4、－2≤x≤1}，则实数a的值是．解：设函数f

5、(x)＝

6、ax＋1

7、，则f(－2)＝f(1)＝3，故a＝2．4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是．解：有两类情况：同为白球的概率是＝，同为红球的概率是＝，所求的概率是．5．在平面直角坐标系xOy中，设焦距为2c的椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝1有相同的离心率e，则e的值是．解：若c＞b，则＝，得a＝b，矛盾，因此c＜b，且有＝，解得e＝．ABCDE（第6题图）A1B1C1D16．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，对角

8、线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E－ABCD的体积为V1，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V2，则的值是．（第6题图）ABCDEOA1B1C1D1解：记四棱锥B1－ABCD的体积为V．如图，DE＝DB1，从而V1＝V．又V＝V2，所以＝．7．若实数集合A＝{31x，65y}与B＝{5xy，403}仅有一个公共元素，则集合A∪B中所有元素之积的值是．解：因为31x×65y＝5xy×403＝2015xy．若xy≠0，则集合A和集合B中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意．所以xy＝0，从而A∪B中所有元素之积的值为0

9、．8．设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(－sinα，cosα)．向量x1，x2，…，x7中有3个为a，其余为b；向量y1，y2，…，y7中有2个为a，其余为b．则xiyi的可能取值中最小的为．解：因为a·a＝b·b＝1，a·b＝0，所以xiyi的最小值为2．（第9题图）1220159．在3×3的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等．如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为．解：如图，设幻方正中间的数为x，则由题意知a＝－2012，从而对角线上三个数的和为x－2011．因此b＝x－20

10、14，c＝－4026，d＝－2013，e＝x＋2014．（第9题图）ecdab122015x由b＋e＋x＝x－2011，解得x＝－．这9个数的和为3×(－－2011)＝－，所以幻方中其余6个数之和为－－2018＝－．10．在平面直角坐标系xOy中，设D是满足x≥0，y≥0，x＋y＋[x]＋[y]≤19的点(x，y)形成的区域（其中[x]是不超过x的最大整数）．则区域D中整点的个数为．解：区域D中整点的个数为1＋2＋3＋…＋10＝55．二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．在等比数列{an}中，a2＝2，q是公比．记S

11、n为{an}的前n项和，Tn为数列{a}的前n项和．若S2n＝2Tn，求q的值．解：若q＝1，则an＝a2＝2，a＝4，则S2n＝4n，Tn＝4n，S2n≠2Tn．若q＝－1，则an＝2×(－1)n，a＝4，则S2n＝0，Tn＝4n，S2n≠2Tn．………………………………5分若q≠±1，则an＝2qn－2，a＝4q2n－4，从而S2n＝，Tn＝．………………………………15分由S2n＝2Tn，则＝1，q2＋q－4＝0，解得q＝．综上，q的值为和．………………………………20分ABCDP(第12题图)E12．如图，△ABC中，AB＞AC

12、，点D、E分别在边AB、AC上，且BD＝CE．∠BAC的外角平分线与△ADE的外接圆交于A、P两点．求证：A、P、B、C四点共圆．ABCDP(第12题图)EF证明：如图，连结PD，PE，PC．因为四边形APDE是圆内接四边形,所以∠PAD＝∠PED，∠PAF＝∠PDE．又因为AP是∠BAC的外角平分线，所以∠PAD＝∠PAF，从而∠PED＝∠PDE，故PD＝PE．………………………………10分又∠ADP＝∠AEP，所以∠BDP＝∠CEP．又因为BD＝CE，所以△BDP≌△CEP，从而∠PBD＝∠PCE，即∠PBA＝∠PCA，所以A、P、

13、B、C四点共圆．………………………………10分xOyO1l(第13题图)O2P13．如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O1、圆O2都与直线l：y＝kx及x轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为