运筹学课后习题二.doc

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1、习题二2.1某人根据医嘱，每天需补充A、B、C三种营养，A不少于80单位，B不少于150单位，C不少于180单位．此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分．已知六种食物每百克的营养成分含量及食物价格如表2-22所示．（1）试建立此人在满足健康需要的基础上花费最少的数学模型；（2）假定有一个厂商计划生产一中药丸，售给此人服用，药丸中包含有A，B，C三种营养成分．试为厂商制定一个药丸的合理价格，既使此人愿意购买，又使厂商能获得最大利益，建立数学模型．表2-22含量食物营养成分一二三四五六需要量A13251440811≥80B24930251215≥150C1872134100≥18

2、0食物单价（元/100g）0.50.40.80.90.30.2【解】（1）设xj为每天第j种食物的用量，数学模型为（2）设yi为第i种单位营养的价格，则数学模型为2.2写出下列线性规划的对偶问题（1）【解】（2）【解】（3）【解】（4）【解】对偶问题为：2.3考虑线性规划(1)说明原问题与对偶问题都有最优解；(2)通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解；(3)利用公式CBB－1求原问题的最优解；(4)利用互补松弛条件求原问题的最优解．【解】(1)原问题的对偶问题为容易看出原问题和对偶问题都有可行解，如X＝(2，1)、Y＝(1，0，1)，由定理2.4知都有最优解。(2)对偶问

3、题最优单纯形表为C(j)42700R.H.S.BasisC(i)y1y2y3y4y5y370-1/514/5-1/528/5y1417/50-3/52/54/5C(j)-Z(j)0-11/50-16/5-1/5w=42.4对偶问题的最优解Y＝(4/5,0,28/5)，由定理2.6，原问题的最优解为X=(16/5，1/5)，Z＝42.4（3）CB=(7,4),,(4)由y1、y3不等于零知原问题第一、三个约束是紧的，解等式得到原问题的最优解为X=(16/5，1/5)。2.4证明下列线性规划问题无最优解证明：首先看到该问题存在可行解，例如x=(2,1,1)，而上述问题的对偶问题为由约

4、束条件①②知y1≤0，由约束条件③当y2≥0知y1≥1，对偶问题无可行解，因此原问题也无最优解(无界解)。2.5已知线性规划的最优解，求对偶问题的最优解．【解】其对偶问题是：由原问题的最优解知，原问题约束③的松弛变量不等于零()，x1、x3不等于零，则对偶问题的约束①、约束③为等式，又由于知y3＝0；解方程得到对偶问题的最优解Y=(5/2,5/2,0)；w＝55/2＝27.52.6用对偶单纯形法求解下列线性规划【解】将模型化为对偶单纯形表：cj34500CBXBX1X2X3X4X5b00X4X5－1[－2]－2－2－3－11001－8－10C(j)-Z(j)34500003X4X

5、101[－1]1－5/21/210－1/2－1/2－35C(j)-Z(j)017/203/2053X2X101105/2－2－111/2－132C(j)-Z(j)00111b列全为非负，最优解为x＝(2，3，0)；Z＝18【解】将模型化为3400bXBCBX1X2X3X4X30[-1]-110-4X4021012Cj－Zj3400　X1311-104X400[-1]21-6Cj－Zj0130　X131011-2X2401-2-16Cj－Zj0051　出基行系数全部非负，最小比值失效，原问题无可行解。【解】将模型化为 cj24000bXBCBX1X2X3X4X5X302310024

6、X40-1-2010-10X50-1[-3]001-15Cj－Zj24000　X30101019X40-1/3001 －2/30X241/3100 －1/35Cj－Zj2/30004/3　最优解X=(0，5)；Z＝20【解】将模型化为Cj235600bXBCBX1X2X3X4X5  X6X50-1[-2]-3-410-2X60-21-1301-3Cj－Zj235600X231/213/22-1/201X60-5/20[-5/2]11/21-4Cj－Zj1/201/203/20X23[-1]1013/5-1/53/5-7/5X35101-2/5-1/5-2/58/5Cj－Zj000

7、1/58/51/5X121-10-13/51/5-3/57/5X350[1]111/5-2/51/51/5Cj－Zj0001/58/51/5X12101-2/5-1/5-2/58/5X2301111/5-2/51/51/5Cj－Zj0001/58/51/5原问题有多重解：X(1)＝(7/5，0，1/5，)；最优解X(2)＝(8/5，1/5，0)；Z＝19/5如果第一张表X6出基，则有Cj235600bXBCBX1X2X3X4X5  X6X50-1-2-3-410-2X60[-2]