2008年全国竞赛(数学周报杯)试题.doc

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1、鹿城临江中学ckm505整理及另解　第4页共4页　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（第4题）中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分）1．已知实数满足，则的值为（）．（A）7（B）（C）（D）52．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是（）．（A）（B）（C）（D）3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不

2、同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有()．（A）6条（B）8条（C）10条（D）12条4．已知是半径为1的圆的一条弦，且．以为一边在圆内作正△，点为圆上不同于点A的一点，且，的延长线交圆于点，则的长为（）．（A）（B）1（C）（D）a5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）．（A）2种（B）3种（C）4种（D）5种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u，v，定义一种运算“*”为：．若关于x的方程有两个不同的实数根，则满

3、足条件的实数a的取值范围是．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．8．如图，在△中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为．9．△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心I作DE∥BC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为．10．关于x，y的方程的所有正整数解为．4　　　　　　　　　　　　　　　　鹿城临江中学

4、ckm505整理及另解　第4页共4页　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（第9题答案5数，段成比例，所以）（第8题答案5数，段成比例，所以

5、）三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．在直角坐标系xOy中，一次函数的图象与轴、轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于．（1）用b表示k；(2)求△OAB面积的最小值．12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程有有理数根？4　　　　　　　　　　　　　　　　鹿城临江中学ckm505整理及另解　第4页共4页　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　★12、已知为正整数，关于的方程的两个实数根为，关于的方程的两个实数根为，且满足.

6、求的最小值.13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．★13、如图，△ABC的三边长都是整数，且的最大公约数是2。点G和点I分别为△ABC的重心和内心，且，求△ABC的周长.4　　　　　　　　　　　　　　　　鹿城临江中学ckm505整理及另解　第4页共4页　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．★★14、已知有6个互不相同的正整数，且，从这6个数中任

7、意取出3个数，分别设为，其中。记证明：一定存在3个不同的数组，其中，使得对应着的3个两两之差的绝对值都小于0.5.（征求答案）4