注意全等三角形的构造方法

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1、注意全等三角形的构造方法注意全等三角形的构造方法搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条相对集中起，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．1．截长补短法例1．如图（1）已知：正方形ABD中，∠BA的平分线交B于E，求证：AB+BE=A．解法（一）（补短法或补全法）延长AB至F使AF=A，由已知△AEF≌△AE，∴∠F=∠AE=4&rd;，∴BF=BE，∴AB+BE=AB+BF=AF=A．解法（二）（截长法或分割法）在A上截取AG=AB，由

2、已知△ABE≌△AGE，∴EG=BE,∠AGE=∠ABE,∵∠AE=4&rd;,∴G=EG,∴AB+BE=AG+G=A．2．平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线．例2．△AB中，∠BA=60°，∠=40°AP平分∠BA交B于P，BQ平分∠AB交A于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ．证明：如图（1），过作D∥B交AB于D，∴∠AD=∠AB=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQ=∠+∠QB=80°，∴∠AD=∠AQ，又∵∠DA=∠QA，A=A，∴△AD≌△AQ，∴D=

3、Q，AD=AQ，又∵D∥BP，∴∠PB=∠DB，又∵∠PB=∠DB，∴∠DB=∠DB，∴BD=D，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+Q+B=AQ+BQ．说明：⑴本题也可以在AB截取AD=AQ，连D，构造全等三角形，即“截长补短法”．⑵本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：①如图（2），过作D∥B交A于D，则△AD≌△AB解决．②如图（3），过作DE∥B交AB于D，交A于E，则△AD≌△AQ，△AB≌△AE解决．③如图（4），过P作PD∥BQ交AB的延长线于D，则△APD≌△AP解决．④如图（），过P作PD∥BQ交A于D，则△

4、ABP≌△ADP解决．（本题作平行线的方法还很多，感兴趣的同学自己研究）．　3．旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。例3．已知：如图（6），P为△AB内一点，且PA=3，PB=4，P=，求∠APB的度数．分析：直接求∠APB的度数，不易求，由PA=3，PB=4，P=，联想到构造直角三角形．略解：将△BAP绕A点逆时针方向旋转60°至△AD，连接PD，则△BAP≌△AD，∴D=BP=4，∵AP=AD，∠PAD=60°，又∵P=，PD+D=P图（6）∴△PD为Rt△,∠PD=90&rd;∴∠AP

5、B=∠AD=∠ADP+∠PD=60°+90&rd;=10&rd;．4．倍长中线法题中条若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条集中在一个三角形内。例4．如图（7）AD是△AB的中线，BE交A于E，交AD于F，且AE=BE．求证：A=BF证明：延长AD至H使DH=AD，连BH，∵BD=D，∠BDH=∠AD，DH=DA，∴△BDH≌△DA，∴BH=A，∠H=∠DA，又∵AE=EF，∴∠DA=∠AFE，∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE=图（7）∠BFD=∠DA=∠H，∴BF=BH，∴A=BF．．翻折法若题设中含有垂线、角的平

6、分线等条的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形构造全等三角形．例．如图（8）已知：在△AB中，∠A=4&rd;,AD⊥B，若BD=3，D=2，求：△AB的面积．解：以AB为轴将△ABD翻转180&rd;，得到与它全等的△ABE，以A为轴将△AD翻转180&rd;，得到与它全等的△AF，EB、F延长线交于G，易证四边形AEGF是正方形，设它的边长为x，则BG=x－3，G=x－2，在Rt△BG中，（x-3）+（x-2）=．解得x=6，则AD=6，∴S△AB=××6=1．　　　　　图（8）