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1、正比例函数教案及练习题正比例函数知识技能目标1理解一次函数和正比例函数的概念;2根据实际问题列出简单的一次函数的表达式.过程性目标1经历由实际问题引出一次函数解析式的过程,体会数学与现实生活的联系;2探求一次函数解析式的求法,发展学生的数学应用能力.教学过程一、创设情境问题1小明暑假第一次去北京.汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均车速是9千米/小时.已知A地直达北京的高速公路全程为70千米,小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离.分析我们知道汽车距
2、北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的值,显然,应该探求这两个变量的变化规律.为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,s和t的函数关系式是s=70-9t.说明找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的s、t是两个变量,s是t的函数,t是自变量,s是因变量.问题2小张准备将平时的零用钱节约一些储存起.他已存有0元,从现在起每个月节存12元.试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的函数关系式.分析我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为元,得到所
3、求的函数关系式为:=0+12x.问题3以上问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点?二、探究归纳 上述两个问题中的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的.函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数(linearfuntin).一次函数通常可以表示为=x+b的形式,其中、b是常数,≠0. 特别地,当b=0时,一次函数=x(常数≠0)出叫正比例函数(diretprprtinalfuntin).正比例函数也是一次函数,它是一次函数的特例. 三、实践应用例1下列函数关系中,哪些属于一次函数,其中哪些又属于正比例函数?
4、 (1)面积为102的三角形的底a()与这边上的高h(); (2)长为8()的平行四边形的周长L()与宽b(); (3)食堂原有煤120吨,每天要用去吨,x天后还剩下煤吨; (4)汽车每小时行40千米,行驶的路程s(千米)和时间t(小时).分析确定函数是否为一次函数或正比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合=x+b(≠0)或=x(≠0)形式,所以此题必须先写出函数解析式后解答.解(1),不是一次函数. (2)L=2b+16,L是b的一次函数. (3)=10-x,是x的一次函数. (4)s=40t,s既是t的一次函数
5、又是正比例函数.例2已知函数=(-2)x+2+1,若它是正比例函数,求的值.若它是一次函数,求的值.分析根据一次函数和正比例函数的定义,易求得的值.解若=(-2)x+2+1是正比例函数,则2+1=0,即=.若=(-2)x+2+1是一次函数,则-2≠0,即≠2.例3已知与x-3成正比例,当x=4时,=3. (1)写出与x之间的函数关系式; (2)与x之间是什么函数关系; (3)求x=2时,的值.解(1)因为与x-3成正比例,所以=(x-3).又因为x=4时,=3,所以3=(4-3),解得=3,所以=3(x-3)=3x-9. (2)是x的
6、一次函数. (3)当x=2时,=3×2=7. 例4已知A、B两地相距30千米,B、两地相距48千米.某人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发,经过B地到达地.设此人骑行时间为x(时),离B地距离为(千米). (1)当此人在A、B两地之间时,求与x的函数关系及自变量x取值范围. (2)当此人在B、两地之间时,求与x的函数关系及自变量x的取值范围.分析(1)当此人在A、B两地之间时,离B地距离为A、B两地的距离与某人所走的路程的差. (2)当此人在B、两地之间时,离B地距离为某人所走的路程与A、B两地的距离的差. 解(1)=3
7、0-12x.(0≤x≤2) (2)=12x-30.(2≤x≤6) 例 某油库有一没储油的储油罐,在开始的8分钟时间内,只开进油管,不开出油管,油罐的进油至24吨后,将进油管和出油管同时打开16分钟,油罐中的油从24吨增至40吨.随后又关闭进油管,只开出油管,直至将油罐内的油放完.假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变.写出这段时间内油罐的储油量(吨)与进出油时间x(分)的函数式及相应的x取值范围.分析因为在只打开进油管的8分钟内、后又打开进油管和出油管的16分钟和最后的只开出油管的三个阶级中,储油罐的储油量与进出油时间的函数关系
8、式是不同的,所以此题因分三个时间段考虑.但在这三个阶段中,两变量之间均为一次函数关系.解在第一阶段:=3x(0≤x≤8); 在第二阶段:=16+x(8≤x≤16)