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1、数值分析NumericalAnalysis第六章解线性代数方程组的迭代法郑州大学研究生课程（2011-2012学年第一学期）第六章解线性代数方程组的迭代法§6.1引言§6.2几种常用的迭代格式§6.3迭代法的收敛性及误差估计§6.4判别收敛的几个常用条件§6.5迭代法收敛判定的应用举例ISCM2007,BeijingChina/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis§6.1引言线性方程组的数值解法有：直接法和迭代法。直接法：在假定没有舍入误差的情况下，经过有限次运算可以求得方程组的精确解；迭代法：从一个初始向量出发，按照一定的迭代格式
2、，构造出一个趋向于真解的无穷序列。ISCM2007,BeijingChina/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis§6.1引言当A为稀疏矩阵时，直接法将破坏矩阵A的稀疏性。系数矩阵的分类第一类：低阶稠密方程组，即系数矩阵的阶数不高，含零元素很少，在线性代数等课程学习中通常见到的，都属这类方程组；第二类：高阶稀疏方程组，系数矩阵的阶数很高，如几百阶、甚至成千上万阶，其中零元素成片分布，数量上绝对占优。ISCM2007,BeijingChina/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis迭代法
3、适用于解大型稀疏方程组(万阶以上的方程组,系数矩阵中零元素占很大比例,而非零元按某种模式分布)问题:(1)如何构造迭代格式？(2)迭代格式是否收敛？(3)如何进行误差估计？§6.1引言ISCM2007,BeijingChina/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis§6.1引言迭代法的基本思想迭代法的基本思想是将线性方程组转化为便于迭代的等价方程组，对任选一组初始值，按某种计算规则，不断地对所得到的值进行修正，最终获得满足精度要求的方程组的近似解。ISCM2007,BeijingChina/68郑州大学研究生2011-2012学年课程
4、数值分析NumericalAnalysis设非奇异，，则线性方程组有惟一解，经过变换构造出一个等价同解方程组将上式改写成迭代式选定初始向量,反复不断地使用迭代式逐步逼近方程组的精确解,直到满足精度要求为止。这种方法称为迭代法ISCM2007,BeijingChina/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis如果向量序列存在极限则称迭代法是收敛的，否则就是发散的。收敛时，在迭代公式中当时，,则故是方程组的解。对于给定的方程组可以构造各种迭代公式。并非全部收敛。ISCM2007,BeijingChina/68郑州大学研究生2011-2012
5、学年课程数值分析NumericalAnalysis§6.2几种常用的迭代格式雅可比(Jacobi)迭代格式例6.2.1建立迭代格式求解方程组方程组的精确解x*=(3,2,1)T。ISCM2007,BeijingChina/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis§6.2几种常用的迭代格式建立迭代公式ISCM2007,BeijingChina/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis取初始向量进行迭代,可以逐步得出一个近似解的序列：（k=1,2,…）直到求得的近似解能达到预先要求的精度，则迭代
6、过程终止，以最后得到的近似解作为线性方程组的解。当迭代到第10次有计算结果表明，此迭代过程收敛于方程组的精确解x*=(3,2,1)T。ISCM2007,BeijingChina/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis考察一般的n元线性方程组写成ISCM2007,BeijingChina/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis若,分离出变量ISCM2007,BeijingChina/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis§6.2几种常用的迭代
7、格式（Jacobi迭代公式）(k=0,1,2,…)ISCM2007,BeijingChina/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis§6.2几种常用的迭代格式（Jacobi迭代公式）据此建立迭代公式上式称为解方程组的Jacobi迭代公式。也称为简单迭代法。ISCM2007,BeijingChina/68郑州大学研究生2011-2012学年课程数值分析NumericalAnalysis雅可比迭代法的矩阵表示设方程组的系数矩
