稳健自适应波束形成算法第6章稳健方向图综合算法.ppt

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1、第6章　稳健方向图综合算法6.1传统方向图综合算法6.2基于自适应阵列方法的稳健方向图综合算法6.3基于LCMV准则的稳健方向图综合算法6.4基于半正定规划的稳健方向图综合算法6.5基于凸优化的稳健方向图综合算法6.1传统方向图综合算法6.1.1契比雪夫综合方法当阵元数N为奇数时，定义权值为(6.1-1)由于阵列方向图是阵列参数，如阵元个数N、阵元间距d、信号波长λ，来波方向θ的函数，即B(N,d,λ,θ)。为了简化,通常省略阵元数N,表示为B(d,λ,θ)，如果令(6.1-2)则阵列方向图将是该参数的函数，即可简写为B(ψ)。根据B(ψ)为实对称函数的假设，可得

2、奇数阵元阵列的实对称权值：am=a－m(6.1-3)故可将B(ψ)写成一个三角函数的形式：类似地，当N为偶数时，可以定义(6.1-4)(6.1-5)(6.1-6)因此有(6.1-7)或表示为(6.1-８)图6.1-1给出了当N为奇数和偶数时的阵元加权系数标号示意图。图6.1-1均匀线阵的阵元加权系数标号示意图因此，当N为奇数时，根据式(6.1-4)，波束形成器的方向图可以表示为N:odd(6.1-9)其中αn(n=0,1…,(N－1)/2)定义为(6.1-10)同样，当N为偶数时，根据式(6.1-8)，有下式：其中αn的定义为　　同样，式(6.1-11)也

3、可以表示为(6.1-11)(6.1-12)(6.1-13)(6.1-14)再利用二项式展开并取实部，可得(6.1-15)并带入特定的m值，式(6.1-15)可化简为如下形式：(6.1-16)定义则式(6.1-15)变为(6.1-18)(6.1-17)式(6.1-18)中的多项式为Chebychev多项式，而且可以表示成一般的形式：对于特定的m值，前8个Chebychev多项式为(6.1-19)(6.1-20)第m阶Chebychev多项式的定义为(6.1-21)(6.1-22)其中cm为正交常数，且有(6.1-23)多项式可以扩展到区域

4、x

5、<1以外，具体的定义如式(6

6、.1-21)所示。其中阶数小于等于7的前八个Chebychev多项式如图6.1-2所示。图6.1-2Chebychev多项式对于Chebychev多项式，存在以下性质：　　（1）对于m≥2，有Tm(x)=2xTm－1(x)－Tm－2(x)(6.1-24)其中的T0(x)和T1(x)由前面的定义式(6.1-20)给出。（2）Tm(x)有m个实数根，在区间

7、x

8、<1以内。多项式的根出现在　　　　　　　　　　的情况，或者说满足：(6.1-25)所以，这些根在ψ空间内是均匀间隔的。因此可将x的根表示为xp，且有(6.1-26)（3）Tm(x)在－1

9、最大值和最小值，出现的位置为(6.1-27)每个最大值和最小值的幅度为1，即

10、Tm(xk)

11、=1(6.1-28)所以，多项式在－1

12、Tm(±1)

13、=1。对于x>1，有

14、Tm(x)

15、>1(6.1-29)从前面的方向图函数多项式展开式(6.1-16)可知，一个指向为正侧视的对称等间距阵列（全向源），其波束方向图B(ψ)是一个N－1阶的多项式，且变量为x=cos(ψ/2)。在Dolph-Chebychev方法中，主波束的幅度对应于Tm(x0)的值，其中x0>1，旁瓣的幅度为1。定义主波束最

16、大值和旁瓣电平的比值为R，则(6.1-30)具体的合成过程由下面的5个步骤组成：　　（1）对于一个N阵元的阵列，选择和阵列多项式相同阶数的Chebychev多项式Tm(x)，即有m=N－1(6.1-31)（2）选择R并解得x0。由于R>1，所以x0>1。但是，为了利用x=cos(ψ/2)，需要满足

17、x

18、<1。（3）通过定义一个新的变量ω，进行尺度改变，即并令则(6.1-32)(6.1-33)(6.1-34)（4）波束方向图为(6.1-35)其中的因子1/R用于归一化波束方向图，使得B(0)=1（5）确定上式中的波束方向图的阵列权值。　　为了确定权值矢量，首先应找

19、到波束方向图的零点。零点的位置由下式给出：或在x空间表示为(6.1-37)(6.1-3６)变换尺度到ω空间，得到(6.1-39)(6.1-38)然后构造一个N×N的阵列流型矩阵V(ψ)，即V(ψ)=［v(0),v(ψ1),…,v(ψp),…,v(ψN－1)(6.1-40)因此，可得权值矢量:w=［VH(ψ)]－1e1(6.1-41)其中e1=［1,0,…,0]为假设的归一化波束方向图。如果需要，可以从wn转换到an，但这并不是必要的。6.1.2契比雪夫综合方法的仿真实例由于天线的阵元数N=8，故选择和阵列多项式相同阶数的Chebychev