构造法待定系数法求一类递推数列通项公式2013。.doc

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1、构造法、待定系数法求一类递推数列通项公式陕西省周至中学尚向阳邮编710400摘要：求数学通项公式是学习数列时的一个难点，在教学过程中，笔者发现求解递推数列通项公式是学生学习的难点，这也是高考考查的重点、热点问题，如何来突破这个难点，很好的解决这个问题，其核心思想是构造新的数列，转化为学生熟悉的等差数列或等比数列来解决，下面笔者重点介绍用构造法和待定系数法来求下列六类递推数列模型通项公式的解决策略。关键字：数列、数列通项、构造法、待定系数法、叠加法由等差数列联想推广到的递推数列模型：【模型一】（）。（1）当时，是等差数列，（2）当时，采用待定系数法，构造新的数列--

2、-等比数列解：由已知时，可设∴比较系数：∴∴构造新的数列是等比数列，公比为，首项为∴∴例1：已知满足，求通项公式。解：设∴∴是以4为首项，2为公比为等比数列∴∴【模型二】叠加法（或迭代法）求解由已知，若可求和，则可用叠加（或迭代法）消项的方法求解。例2：已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式.解：，5，即，…………将以上k个式子相加，得将代入，得，。经检验也适合，【模型三】采用待定系数法，构造新的数列求：（），当，即f(n)为n的一次函数模型。则可设∴∴解得：

3、，∴是以为首项，为公比的等比数列∴∴将A、B代入即可例3.设数列：，求.解：设，将代入递推式，得5…（１）则,又，故代入（１）得说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由,（）两式相减得转化为求之.同理可以求，时，当f(n)为n的二次、高次函数模型，求解策略仍采用待定系数法，方法相同在此不赘述。【模型四】构造法求：时，当（0，1），即f(n)为指数函数模型由已知可得：等式两边同时除以则得令则∴可归为型求解例4.已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,解之得：所以由等比数列联想推广得到的递推数列模型：【模型五】构造法求：型。（1）若是常数时，可归为等比

4、数列。（2）若可求积，可用叠乘法、迭代法累积约项的方法化简求通项。例5：已知数列中，，．5求数列的通项；解：由已知，可得①②①—②得即：，所以所以【模型六】构造---倒数法求：型。考虑函数倒数关系有∴令则可归为型。例6.已知中，，（）求。解：∴（）∴（）设即5∴是等差数列∴5