高三数学专题——恒成立与存在性问题.doc

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1、高三复习专题——恒成立与存在性问题知识点总结:(1)恒成立问题1.∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A;2.∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则f(x)maxg(x)恒成立,则F(x)=f(x)-g(x)>0,∴F(x)min>04.∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,则F(x)=f(x)-g(x)﹤0,∴F(x)max﹤05.∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1)>g(x2)恒成立,则f(x)min>g(x)max6.∀x1∈D,∀x2∈E,均有

2、f(x1)A成立,则f(x)max>A;2.∃x0∈D,使得f(x0)﹤A成立,则f(x)ming(x0)成立,设F(x)=f(x)-g(x),∴F(x)max>04.∃x0∈D,使得f(x0)g(x2)成立,则f(x)max>g(x)min6.∃x1∈D,

3、∃x2∈E,均使得f(x1)g(x2)成立,则f(x)min>g(x)min2.∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1)A在区间D上恰成立,则等价于不等式f(x)>A的解集为D;2.若不等式f(x

4、)g(x)的研究例1、已知函数,,其中,.对任意,都有恒成立,求实数的取值范围;【思路分析】等价转化为函数恒成立,通过分离变量,创设新函数求最值解决.简解:(1)由成立,只需满足的最小值大于即可.对求导,,故在是增函数,,所以的取值范围是.► 探究点二∃x∈D,f(x)>g(x)的研究对于∃x∈D,f(x)>g(x)的研究,先设h(x)=f(x)-g(x),再等价为∃x∈D,h(x)max>0,其中若g(x

5、)=c,则等价为∃x∈D,f(x)max>c.例已知函数f(x)=x3-ax2+10.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x,使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围.【解答】(1)当a=1时,f′(x)=3x2-2x,f(2)=14,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率k=f′(2)=8,所以曲线y=f(x)在点(2,f(x))处的切线方程为8x-y-2=0.(2)解法一:f′(x)=3x2-2ax=3x(1≤x≤2

6、),当a≤1,即a≤时,f′(x)≥0,f(x)在[1,2]上为增函数,故f(x)min=f(1)=11-a,所以11-a<0,a>11,这与a≤矛盾.当10,所以x=a时,f(x)取最小值,因此有f<0,即a3-a3+10=-a3+10<0,解得a>3,这与,这符合a≥3

7、.5/5综上所述,a的取值范围为a>.解法二:由已知得:a>=x+,设g(x)=x+(1≤x≤2),g′(x)=1-,∵1≤x≤2,∴g′(x)<0,所以g(x)在[1,2]上是减函数.g(x)min=g(2),所以a>.【点评】解法一在处理时,需要用分类讨论的方法,讨论的关键是极值点与区间[1,2]的关系;解法二是用的参数分离,由于ax2>x3+10中x2∈[1,4],所以可以进行参数分离,而无需要分类讨论.► 探究点三∀x1∈D,∀x2∈D,f(x1)>g(x2)的研究例、设函数,对任意,都有在恒成

8、立,求实数的取值范围.思路分析:解决双参数问题一般是先解决一个参数,再处理另一个参数.以本题为例,实质还是通过函数求最值解决.方法1:化归最值,;方法2:变量分离,或;方法3:变更主元,,简解:方法1:对求导,,由此可知,在上的最大值为与中的较大者.,对于任意,得的取值范围是.► 探究点四∀x1∈D,∃x2∈D,f(x1)>g(x2)的研究对于∀x1∈D,∃x2∈D,f(x1)>g(x2)的研究,第一步先转化为∃x2∈D,f(x1)min>

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