数学实验——非线性方程求解.docx

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1、数学实验报告实验6非线性方程求解实验6非线性方程求解分1黄浩2011011743一、实验目的1.掌握用MATLAB软件求解非线性方程和方程组的基本用法，并对结果作初步分析。2.练习用非线性方程和方程组建立实际问题的模型并进行求解。二、实验内容1.《数学实验》第一版（问题3）问题叙述：（1）小张夫妇以按揭方式贷款买了一套价值20万的房子，首付了5万元，每月还款1000元，15年还清。问贷款利率是多少？（2）某人欲贷款50万元购房，他咨询了两家银行，第一家银行开出的条件是每月还4500元，15年还清；第二家银行开出的条件是每年还45000元，20年还清。从利率方面看，哪家银行较优

2、惠（简单的假设年利率=月利率*12）？模型转换及实验过程：（1）本题的按揭贷款属于等额还款类型，即每月的还款额度相同，还款额先抵消当前本金的月利息，然后剩余还款额用来偿还本金。再进一步简化等效，可以设想本金额不被抵消，始终按照一定的利率呈指数增长，同时所交款成为“负本金”，也按照利率成指数增长，二者的差值即为待交的款额。设本金为A=15万，从第一个月(n=1）开始，贷款月利率为i，每月交款额为R=1000元。则第n月所交款在还清时(n=N)所提供的“负本金”：an=R(1+r)N-n则还清的标志为：本金额=负本金的总额公式即：17数学实验报告实验6非线性方程求解A(1+r)N

3、=1Naj=R(1+r)N-1r整理后得：R=Ar1+rN1+rN-1即：Ar-R1+rN+R=0…………(*)为了寻找比较合适的初始值，我们先编写上述方程的matlab函数（程序见四.2），然后对r∈[0,0.005]进行作图（程序见四.1），得：上图中，横坐标为r，纵坐标为方程(*)左侧的值。由上图可见，当i在区间[0.002,0.0025]内，方程有零点。因此，令A=150000，N=180，R=1000，有根区间为[0.002,0.0025]，使用fzero函数（程序见四.3）解得：r=0.002081163889459fv=4.092726157978177e-01

4、2可见，fv已经十分接近于0，结合之前的图像，可以判定是一个零点而非17数学实验报告实验6非线性方程求解近似间断点。因此，贷款利率r≈0.21%。得出结论：贷款利率为0.21%（2）对于这两种情况，仍然使用上一问的基本模型，代入两种情况下的参数值，构建两个方程：(500000*r1-4500)*(1+r1)^180+4500=0(500000*r2-45000)*(1+r2)^20+45000=0其中r1为第一家银行的月利率，r2为第二家银行的年利率。为了寻找比较合适的初始值，对r1∈0,0.01,r2∈0.01,0.1进行作图（程序见四.4）:由上述两图可见，当r1∈0.0

5、05,0.006,r2∈0.06,0.07时，方程有零点。17数学实验报告实验6非线性方程求解分别对上述两种情况，使用fzero函数求解（程序见四.5），得：r1=0.005850792582846≈0.59%fv1=1.273292582482100e-010r2=0.063948777092386≈6.39%fv2=-6.548361852765083e-011因为fv1、fv2都很接近0，结合上面的两幅图像，可以判定r1、r2分别为两方程的零点而非近似间断点因此，第一家银行的年利率R1=0.59%*12=7.08%>R2=r2=6.39%得出结论：第二家银行更优惠。2.

6、《数学实验》第一版（问题5）问题叙述：由汽缸控制关闭的门，门宽a，门枢在H处，与H相距b出有一门销，通过活塞与圆柱形的汽缸相连，活塞半径r，汽缸长l0,汽缸内气体的压强p0。当用力F推门，使门打开一个角度α时，活塞下降的距离为c，门销与H的水平距离b保持不变，于是汽缸内的气体被压缩，对活塞的压强增加。已知在绝热条件下，气体的压强p和体积V满足pV^γ=C，其中γ是绝热系数，C是常数。试利用开门力矩和作用在活塞上的力矩相平衡的关系（对门枢而言），球在一定的力F作用下，们打开的角度α。设a=0.8m，b=0.25m，r=0.04m，l0=0.5m，p0=10000N/m2，γ=1

7、.4，F=25N。模型转换及实验过程：根据力矩平衡，可得：Facosα=p-p外S0∙cosα∙bcosα因为外压没有说明，而设外压为1个大气压显然不合理（因为p0=104pa≪1atm=105pa）,所以可以简化模型，忽略外压的影响。即：Facosα=pS0∙b又根据绝热过程的公式：p0V0γ=pVγ得：p=(l0l0-c)γp017数学实验报告实验6非线性方程求解代入第一式，得：Facosα=(l0l0-btanα)γp0πr2b为了寻找比较合适的初始值，先编写上述方程的matlab函数（程序见四.