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1、第17卷增刊重庆师范学院学报(自然科学版)2000年6月...Vol17SupPIJournalofChongqingNormalUniversiy(NauralseieneeEdiion)Jun2000等价’无穷小的性质及应用`,2吕样凤王艳..,,;(1攀钢(集团)公司职教中心2攀钢(集团)公司培训处四川攀枝花617062)`、,,一般的高等数学教材〔口中都详细介绍了无穷大无穷小的概念关于等价无穷小有如下:一条重要的性质II、、,`,`,,。。。设”为同一极限过程中的无穷刁量若一p一“`im存在贝“有hm一hm苛音苛,,,这个性质表明求两个无穷小之比的
2、极限时分子及分母都可用等价无穷小来代换从而snZ。1一eos(sinx)ixilm,,Z达到简化运算的目的例如求l一。05(sinx)一In(l+x)2InxZ就可利用(l+)sinZx,1一eossinx一2_1Z,,()x~lim1111一二丁一下犷-一从而nZ人丁2Ix~二。`一(1+)~乙X4,、、、:,现在的问题是等价无穷小的和差积商是否也能如此代换呢?比如当x一。时gtx,,,,,xisnxxx一isnxx一xx一sinx~~但gt不与等价事实上由幂级数知识我们知道gt一,,.,,、,,二,.,.,,、,、.,二卜`二11一_~_一_一.~“3
3、。_,一_一___一一一⋯x十x由⋯此可见下面就等价无穷小的一些性质进行讨音’告等价无穷`小的差不能随`意代换.’’“J/J.’//JJ“J’。’M’“Jv’/JJ曰谬’’JrJ3一6一川.“.助~盯了“山~”~~~一~~论.’,,a。Q1)若~夕~尸则胡一’,P,...,,_,,,,,、,_店。~a胡尹一~“·’,,’`四刀`,m~“m`,m=工比只uxUtgx火“,nx少x达足舀7了严习~盯一`,`,2’aa若一月一召则一分苛aa严万..,`,、,,_2Zasinx)x夕~(~.一,一,这是因为hm一mlm刁一1比又日月xU口习一丁丁丁尸一气丁口-T尸
4、一Lg工~二,,`,,·`“,。。`。若一“一尸且hm存在且不等于则一“一尸箭一尹月、..,,,’~。~a一刀一一严严了严严)7-““`,尹达囚刀m二不=m=m一足J万广万上一—`严一分月11111eses了一11111T11111111【1乃一力7乃7a尸尸尸`,土`,工m严一m严一.,Z’,Z2x。n(1+x)一xsinxxn(l+x)一sinxx一x比如一时I一有I~:收稿日期2000一04一24:增刊吕祥凤等等价无穷小的性质及应用169tgx一s一nx例求im11inx35,..3。,。g二s二二耐加X_由幂函数知识有一in一+解在,t一,工U口叨
5、g丈工Sln工工1旦11111粤一~~JO—一~工d,.11一“气二J下XX。。,十l。川tgx一sinx*_JD一,111--:一几犷x尽l头认钊1一,下一一U二0l—冲SnX蚀,·,,由此例知对于’im一`时应考虑用更高阶的无穷小代换争,·。`,,,`4,。`。。若一“一产`im存在且不等于一则+“一+尸苛.,,因为月一尸故一月~一尸利用性质3)的结论即可.,下面是几个常用的等价无穷小代换当xO时有~ax2),,二,,5inaxaxtgaxaxe一1一x1一eosaxIn(1十x)一x~一一...,,1a,:a,y,口y因为hm_月_另外一夕刀一则有~
6、’’`’等价关系传递性若粤一“m“m一mI万丁万口111111—-二一xeos(xe)一eos(xe)例2求1im3x工O~_。_:,二l一,、/,一,XX`5`n、七七少、”e一百了百一解原式一hmXX一2__、,____、_、,、、,_._2211lim.````3Le州卜e,Le一e)-一乙入弓丁入下犷入乙入乙-一2x乙乙.5)等价无穷小代换在未定式1`中的应用、,”I(1十。)。。,A一lim(l+)去~lim,设夕为无穷小量e尹n(1+a)~alim存在则由于I若号尸elrn坦2elm青A一守一,,,,`,,,。。这表明未定式hm“+,去由hm决
7、定若“一尸,im存在由等价无穷小的前分一苛.,1、1+。e卜。1十。。述性质有A一hm()去一咔~福即hm()去中的月均可进行等价无穷小代,,、。。,_,·口。一1换式中的就是ilm“十,去中的无穷刁量音与指致万之积尸·im(l+Zx)x。,二e比如求l添~lim(1+Z)六一J跳六一号例3求1im{塑)夕、X,一+一,一liml+解原式一hm(巡)乡(、步、xO工/一、X/S`n二二二3~由于-一六170重庆师范学院学报(自然科学版)第17卷_、fl)食1:J-了slnx、声_l一二丁x{所以lim!J111】11,.0二l一、工,二~O】l州广,—L工
8、J·.e一e一一概(封—)夕一会”6)等价无穷小代换在0和co中的
