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《高中数学中集合的概念与运算的解题归纳》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、§1.1集合的概念与运算一、知识导学1.集合:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素:集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.3.子集:如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若则),则称集合A为集合B的子集,记为AB或BA;如果AB,并且AB,这时集合A称为集合B的真子集,记为AB或BA.4.集合的相等:如果集合A、B同时满足AB、BA,则A=B.5.补集:设AS,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集,记为.6.全集:如果集合S包含所要研究的各个集合,这时S可以看做一个全集,全集通常记作U.
2、7.交集:一般地,由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作AB.8.并集:一般地,由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作AB.9.空集:不含任何元素的集合称为空集,记作.10.有限集:含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集:含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法:列举法、描述法、图示法(Venn图).13.常用数集的记法:自然数集记作N,正整数集记作N+或N,整数集记作Z,有理数集记作Q,实数集记作R.二、疑难知识导析1.符号,,,,=,表示集合与集合之间的关系,其中“”
3、包括“”和“=”两种情况,同样“”包括“”和“=”两种情况.符号,表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时,特别要注意它的“确定性”,在表示一个集合时,要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义,即元素指什么,是什么范围.用集合表示不等式(组)的解集时,要注意分辨是交集还是并集,结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断.空集是任何集合的子集,但因为不好用文氏图形表示,容易被忽视,如在关系式中,B=易漏掉的情况.5.若集
4、合中的元素是用坐标形式表示的,要注意满足条件的点构成的图形是什么,用数形结合法解之.6.若集合中含有参数,须对参数进行分类讨论,讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有n个元素的集合的所有子集个数为:,所有真子集个数为:-1三、经典例题导讲[例1]已知集合M={y
5、y=x2+1,x∈R},N={y
6、y=x+1,x∈R},则M∩N=()A.(0,1),(1,2)B.{(0,1),(1,2)}C.{y
7、
8、y=1,或y=2}D.{y
9、y≥1}错解:求M∩N及解方程组得或∴选B错因:在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是什么.事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y),因此M、N是数集而不是点集,M、N分别表示函数y=x2+1(x∈R),y=x+1(x∈R)的值域,求M∩N即求两函数值域的交集.正解:M={y
10、y=x2+1,x∈R}={y
11、y≥1},N={y
12、y=x+1,x∈R}={y
13、y∈R}.∴M∩N={y
14、y≥1}∩{y
15、(y∈R)}={y
16、y≥1},∴应选D.注:集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始
17、,要注意区分{x
18、y=x2+1}、{y
19、y=x2+1,x∈R}、{(x,y)
20、y=x2+1,x∈R},这三个集合是不同的.[例2]已知A={x
21、x2-3x+2=0},B={x
22、ax-2=0}且A∪B=A,求实数a组成的集合C.错解:由x2-3x+2=0得x=1或2.当x=1时,a=2,当x=2时,a=1.错因:上述解答只注意了B为非空集合,实际上,B=时,仍满足A∪B=A.当a=0时,B=,符合题设,应补上,故正确答案为C={0,1,2}.正解:∵A∪B=A∴BA又A={x
23、x2-3x+2=0}={1,2}∴B=或∴C={0,1,2}[例3]已知
24、mA,nB,且集合A=,B=,又C=,则有:()A.m+nAB.m+nBC.m+nCD.m+n不属于A,B,C中任意一个错解:∵mA,∴m=2a,a,同理n=2a+1,aZ,∴m+n=4a+1,故选C错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.正解:∵mA,∴设m=2a1,a1Z,又∵n,∴n=2a2+1,a2Z,∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2Z,∴m+nB,故选B.[例4]已知集合A={x
25、x2-3x-10≤0},集合B={x
26、p+1≤x≤2p-1}.若BA,求实数p的取值范围.错解:由x2-3x-10≤0得-2≤x≤5.欲使BA,只须
27、∴p的取值范围是-3≤p≤3.错因:上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论,即B=时,符合题设.正解:①当B≠时,即p+1≤2p