毕业论文--范德蒙行列式.doc

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1、范德蒙行列式的推广及应用目录一、摘要二、引言三、第一章1、定义……………………………………………………………2、定义的证明………………………………………………………3、推广定义及证明…………………………………………4、性质……………………………………………………………………第二章1、范德蒙行列式在行列式计算中的应用……………………………………2、范德蒙行列式在微积分计算中的应用…………………………………3、范德蒙行列式在向量空间计算中的应用…………………………4、范德蒙行列式在线性空间计算中的应用……………………………第三章1、范德蒙行列式在多项式插

2、值中的应用………………………………2、利用编程计算范德蒙行列式………………………………………………第四章结论…………………………………………………………………参考文献……………………………………………………………第一章一、1.1定义我们首先来介绍范德蒙行列式的定义及其计算方法。当我们遇到这样一个数学问题：过平面上n个不同的点(=1，2，…，n)且(=1，2，…，n)各不相同，是否存在唯一的一条n1次曲线，其中，是待定系数，经过这n个不同的点呢?这个问题就等价于下面的线性方程组关于待定系数是否存在唯一的解．根据克莱姆法则，只需考虑方程组(1)的系数行列

3、式的值，其系数行列式为因此只需计算行列式(2)的值．这个行列式(2)就称为n阶的范德蒙（Vandermonde）行列式下面我们来证明，对任意的阶范德蒙行列式等于这n个数的所有可能的差（1≤j＜i≤n）的乘积.首先，我们用数学归纳法证明范德蒙德行列式我们对作归纳法.（1）当时，结果是对的.（2）假设对于级的范德蒙行列式结论成立，现在来看级的情况.在中，第行减去第行的倍，第行减去第行的倍，也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的倍，有()()()后面这行列式是一个n-1级的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它等于所有可能差（2≤j＜i≤n）；而包含的差全

4、在前面出现了.因之，结论对级范德蒙德行列式也成立.根据数学归纳法，完成了证明.用连乘号，这个结果可以简写为由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充分必要条件是这n个数中至少有两个相等.这是用数学归纳法证明的，下面我们在用定理证明已知在级行列式中，第行（或第列）的元素除外都是零，那么这个行列式等于与它的代数余子式的乘积，在=中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的倍得=根据上述定理=提出每一列的公因子后得=最后一个因子是阶范德蒙行列式，用表示，则有=1.2行列式的性质利用行列式的性质容易推得：1、若将范德蒙行列式逆时针旋转可得1、若将范德蒙行列2

5、、若将范德蒙行列式1．3范德蒙行列式的推广定义及证明利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。但是对于一些结构特殊的行列式，可以考虑用一些特别的方法。下面以n阶范德蒙行列式为例，我们来说明怎样利用n阶范德蒙行列式来简化行列式的计算。对于（1）式而言，n阶行列式D_n的每列都是某一个数的不同方幂，且自上而下方幂次数由0递增至n-1。根据范德蒙行列式的这种结构特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后利用其结果计算。常见的化法有以下几种：所给行列式各列（或各行）都是某元素的不同次幂，但其幂次数的排列与范德蒙行列式不完全相同，需利用行列式性质（如提取公因式

6、，调换各行（或各列）的次序,拆行（列）等）将行列式化为范德蒙行列式。例1计算解：由范德蒙行列式的性质3得2.1.1用提取公因式计算行列式例2计算解：中各行元素都分别是一个数的不同方幂，而且方幂次数从左至右按递增次序排列，但不是从0变到n-1，而是由1递升至n，如提取各行的公因数则方幂次数便从0变到n-1，于是得上式右端行列式即为n阶范德蒙行列式，故.2.1.2调换各行（或各列）的次序计算行列式例3计算解：本项中行列式的排列规律与范德蒙行列式的排列规律正好相反，为使中各列元素的方幂次数自上而下递升排列，将第n+1行依次与上行交换直至第1行，第n行依次与

7、上行交换直至第2行……第2行依次与上行交换直至第n行，于是共经过n+(n-1)+(n-2)+次行的交换得到n+1阶范德蒙行列式：2.1.3用拆行（列）计算行列式若第i行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且中含有由n个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将的第i行（列）乘以-1加到第（i+1）行（列），消除一些分行（列），即可化成范德蒙行列式。例4计算D.解：将D的第1行乘以-1加到第2行得：再将上述行列式的第2行乘以-1加到第3行得：再在新行列式中的第3行乘以-1加到第4行得：该式即为4阶范德蒙行列式，故D范德蒙行

8、列式在微积分中的问题例8确定常数使得当x0时为最高阶的无穷小，并给出其等价表达式.解：对的各项利用泰勒公式，