北京市西城区(北区)2012-2013学年高二上学期期末考试数学(文)试题.doc

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1、北京市西城区（北区）2012—2013学年度第一学期高二年级期末考试数学（文科）试卷试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在直角坐标系xOy中，原点到直线的距离为（）A.B.C.5D.32.若双曲线（b＞0）的离心率为2，则实数b等于（）A.1B.2C.D.33.已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为2，那么这个球的表面积是（）A.B.C.D.4.设函数的导函数为，则等于（）A.2B.1C.0D.－15.设x，y∈R，则“x＜0且

2、y＜0”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充分必要条件6.已知直线a和两个平面，给出下列两个命题：命题p：若a∥,a⊥，则⊥；命题q：若a∥,a∥,则∥。那么下列判断正确的是（）A.p为假B.为假C.p∧q为真D.p∨q为真7.函数的值域是（）A.[0，2]B.[0，]C.[－1，2]D.[－1，]8.已知矩形ABCD，AB=2，BC=x，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则（）A.当x=1时，存在某个位置，使得AB⊥CDB.当x=时，存在某个位置，使得AB⊥CDC.当x=4时，存在某

3、个位置，使得AB⊥CDD.x＞0时，都不存在某个位置，使得AB⊥CD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。9.命题“x∈R，”的否定是。10.设a，b∈R，若直线与直线垂直，则实数a=。11.下图是一个几何体的三视图，那么这个几何体的体积等于。12.过点（3，）且与圆相切的直线方程是。13.设函数的导函数，则不等式的解集为。14.设点F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，P为C上一点，若△PF1F2的面积为6，则=。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）设函数的

4、导函数为，且。（Ⅰ）求函数的图象在x=0处的切线方程；[来源:Z.xx.k.Com]（Ⅱ）求函数的极值。16.（本小题满分13分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝CC1，M为AB的中点。（Ⅰ）求证：BC1∥平面MA1C；（Ⅱ）求证：AC1⊥平面A1BC。17.（本小题满分13分）已知椭圆C的对称轴为坐标轴，且短轴长为4，离心率为。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的焦点在y轴上，斜率为1的直线l与C相交于A，B两点，且，求直线l的方程。18.（本小题满分13分）设函数，其中，且a≠0.（Ⅰ）当a=2时，求函数在区间[1，e]上的最

5、小值；（Ⅱ）求函数的单调区间。19.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P－ABC中，底面△ABC为等边三角形，∠APC＝90°，PB＝AC＝2PA＝4，O为AC的中点。（Ⅰ）求证：BO⊥PA；（Ⅱ）判断在线段AC上是否存在点Q（与点O不重合），使得△PQB为直角三角形？若存在，试找出一个点Q，并求的值；若不存在，说明理由。20.（本小题满分14分）已知动圆P（圆心为点P）过定点A（1，0），且与直线相切。记动点P的轨迹为C。（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设过点P的直线l与曲线C相切，且与直线相交于点Q。试研究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点

6、M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。【试题答案】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。1.B2.C3.B4.B5.A6.D7.D8.C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。9.10.311.12.13.14.9三、解答题：本大题共6小题，共80分。（如有其他方法，仿此给分）15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，1分所以由，得a=3，3分则。所以，4分[来源:Z_xx_k.Com]所以函数的图象在x=0处的切线方程为。6分（Ⅱ）令，得x=－3或x=1。7分当x变化时，与的变化情况如下表：x（－∞，－3）－3（－3，1）1

7、（1，+∞）+0－0+↗27↘－5↗11分即函数在（－∞，－3）上单调递增，在（－3，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增。所以当x=－3时，有极大值27；当x=1时，有极小值－5。13分16.（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）如图，设AC1∩A1C=O，连结MO，因为直三棱柱ABC－A1B1C1，所以四边形AA1C1C为矩形，所以AO=OC1,在△AC1B中，因为AO=OC1，AM=MB，所以MO∥BC1.3分又因为平面MA1C，MO平面MA1C，所以∥平面MA1C。6分（Ⅱ）在矩形AA1C1C中，因为AC=CC1，所以AC1⊥A1C。8分因为直三棱柱A

8、BC－A1B1C1，所以CC1⊥BC，又因为AC⊥B