带参数的二次函数.doc

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1、(2011•大庆)已知二次函数y＝ax2－bx＋b(a＞0，b＞0)图象顶点的纵坐标不大于－．(1)求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；(2)若该二次函数图象与x轴交于A、B两点，求线段AB长度的最小值．解：（1）由于y=ax2-bx+b（a＞0，b＞0）图象的顶点的纵坐标为，则≤-，得≥3，-≤-3，∴该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围是x≤-3； （2）设A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）则方程ax2-bx+b=0的两根，得x1=，x2=，从而AB=

2、x2-x1

3、===由（1）

4、知≥6．由于当≥6时，随着的增大，也随着增大，所以=6时，线段AB长度的最小值为=2．(2010．十堰)已知关于x的方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x的二次函数y=mx2-(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.解：（1）分两种情况讨论：①当m=0 时，方程为

5、x－2=0，∴x=2方程有实数根②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式△=[－（3m－1）]2－4m（2m－2）=m2+2m+1=（m+1）2≥0不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根综合①②，可知m取任何实数，方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0恒有实数根.（2）设x1，x2为抛物线y=mx2-(3m－1)x+2m－2与x轴交点的横坐标.则有x1+x2=，x1·x2=由

6、x1－x2

7、====，由

8、x1－x2

9、=2得=2，∴=2或=－2∴m=1或m=∴所求抛物线的解析式为：y1=x2－

10、2x或y2=x2+2x－即y1=x（x－2）或y2=（x－2）（x－4）其图象如右图所示.（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y1，y2组成的图象只有两个交点，结合图象，求b的取值范围.，当y1=y时，得x2－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－；同理，可得△=9－4（8+3b）=0，得b=－.观察函数图象可知当b<－或b>－时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.由当y1=y2时，有x=2或x=1当x=1时，y=－1所以过两抛物线交点（1，－1），（2，0）的直线y=x－

11、2，综上所述可知：当b<－或b>－或b=－2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.（2010泸洲）已二次函数及一次函数.(l)求该二次函数图象的顶点坐标以及它与轴的交点坐标；(2)将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，请你在图10中画出这个新图象，并求出新图象与直线有三个不同公共点时的值：(3)当时，函数的图象与轴有两个不同公共点，求的取值范围．解：（1）二次函数图象的顶点坐标为，与轴的交点坐标为(2)①当直线位于时，此时过点,∴，即。②当直

12、线位于时，此时与函数的图象有一个公共点。∴方程有一根，∴，即当时，满足，由①②知，或。（3）∵∵当时，函数的图象与x轴有两个不同交点，∴应同时满足下列三方面的条件：①方程的判别式△=，②抛物线的对称轴满足，③当时，函数值，当时，函数值即，解得。∴当时，函数图象（）的图象与轴有两个不同公共点．已知：二次函数的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中且、为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点

13、的横坐标分别为x1、x2，求

14、x1－x2

15、的范围．解：（1）∵一次函数过原点∴设一次函数的解析式为y=kx∵一次函数过（1，－b）∴y=－bx……………………………3分（2）∵y=ax2+bx－2过（1，0）即a+b=2…………………………4分由得……………………………………5分①∵△＝∴方程①有两个不相等的实数根∴方程组有两组不同的解∴两函数有两个不同的交点．………………………………………6分（3）∵两交点的横坐标x1、x2分别是方程①的解∴∴＝或由求根公式得出……………………………………………

16、…………8分∵a>b>0，a+b=2∴2>a>1令函数∵在1