数列通项公式的常见求法.doc

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1、数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。一、公式法若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。例1．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。解：由当时，有……，经验证也满足上式，所以点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．二、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或

2、等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1.已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，类型2递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例2.已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，类型3递推式：解法：只需构造数列，消去带来的差异．例3．设数列：，求.解：设，将代入递推式，得…（１）则,又，故代入（１）得类型4递推公式为（其中p，q

3、均为常数，）。解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例4.已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.类型5递推公式为（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,r均为常数）解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。例5.已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,应用例7解法得：所以类型6递推公式为（其中p，q均为常数

4、）。解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。例6.已知数列中，,,，求。解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。三、待定系数法（构造法）求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换

5、递推式中的常数就是一种重要的转化方法。1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。一般地，形如a=pa+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}。例1、数列{a}满足a=1，a=a+1（n≥2），求数列{a}的通项公式。解：由a=a+1（n≥2）得a－2=（a－2），而a－2=1－2=－1，∴数列{a－2}是以为公比，－1为首项的等比数列∴a－2=－（）∴a=2－（）说明：这个题目

6、通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列{a－2}，从而达到解决问题的目的。点评：求递推式形如（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型．例2．已知数列满足，，求．解：将两边同除，得设，则．令．条件可化成，数列是以为首项，为公比的等比数列．．因,．点评：递推式为（p、q为常数）时，可同除，得，令从而化归为（p、q为常数）型．2、通过分解系数，可转化为特殊数列的形式求解。这种方法适用于型的递推式，通过对系数p

7、的分解，可得等比数列：设，比较系数得，可解得。例3、数列满足=0，求数列{a}的通项公式。分析：递推式中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列。解：由得即，且∴是以2为公比，3为首项的等比数列∴利用逐差法可得====∴点评：递推式为（p、q为常数）时，可以设，其待定常数s、t由,求出，从而化归为上述已知题型．四、取倒数法说明：形如:递推式，考虑函数倒数关系有令则可归为型。例1：解：取倒数：是等差数列，